1、模块综合检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过A(1,0),B(4,3)两点,则直线AB的倾斜角为()A.30B.45C.60D.120解析:因为直线AB的斜率为kAB=33,所以直线AB的倾斜角为30.答案:A2.在空间直角坐标系中,已知A(2,-3,1)关于xOy平面的对称点为B,则点B到点C(1,1,-2)的距离为()A.23B.14C.32D.34解析:由题意知点B的坐标为(2,-3,-1),所以|BC|=(2-1)2+(-3-1)2+(-1+2)2=32.答案:C3.已
2、知菱形ABCD在平面内,PC,则PA与对角线BD的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.相交垂直D.异面垂直解析:PC平面,PCBD.又在菱形ABCD中,ACBD,PCAC=C,BD平面PAC.又PA平面PAC,BDPA.显然PA与BD异面,故PA与BD异面垂直.答案:D4.经过圆x2+y2-4x+4y=0的圆心,且和直线2x-y+1=0垂直的直线方程为()A.2x-y-6=0B.x+2y+2=0C.2x+y-2=0D.x-2y-6=0解析:设所求直线方程为x+2y+c=0,因为圆的方程为x2+y2-4x+4y=0,所以圆心坐标为(2,-2).代入直线x+2y+c=0,得c=2.故所求直线
3、方程为x+2y+2=0.答案:B5.圆心在y轴上,半径长为5,且过点(-5,8)的圆的方程为()A.x2+(y-8)2=25B.x2+(y+8)2=25C.(x+5)2+(y-8)2=25D.(x-8)2+y2=25解析:设圆心坐标为(0,b),则由题意得圆的方程为x2+(y-b)2=25.又点(-5,8)在圆上,所以(-5)2+(8-b)2=25,解得b=8.故圆的方程为x2+(y-8)2=25.答案:A6.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+2 B.136 C.73 D.52解析:由三视图可知该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积
4、V1=1312112=6;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=122=2.故该几何体的体积为V=V1+V2=6+2=136.答案:B7.当圆O1:x2+y2=4与圆O2:(x+3)2+(y-4)2=r2外切时,直线x+y+1=0截圆O2所得的弦长为()A.2B.27C.25D.7解析:圆O1的圆心为O1(0,0),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(-3,4),因为两圆外切,所以|O1O2|=2+r,即5=2+r,r=3.圆心(-3,4)到直线x+y+1=0的距离为d=22=2.所以截得的弦长为2r2-d2=29-2=27.答案:B8.在九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱
5、称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1.若球O的表面积为3,则这个三棱柱的体积是()A.16 B.13 C.12 D.1解析:如图,将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体ABDC-A1B1D1C1.设球O的半径为R,由球O的表面积为3,得4R2=3,R=32,长方体的体对角线BC1=3,CC1=(3)2-(2)2=1.故直三棱柱的体积V=12111=12.答案:C9.已知直线l1:x-3y+2=0与l2:x-3y-6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为()A.5B.4C.3D.2解析:l1与l2的距离h=|2+6|12+(-3)2
6、=4,圆心C到直线l1的距离为d=h2=2.又l1被圆C截得的弦长为2,圆C的半径r=d2+12=5,圆C的面积S=r2=5.答案:A10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A,过点A作AEBD,垂足为E,过点C作CFBD,垂足为F,在图中,由边AB,BC不相等可知点E
7、,F不重合.在图中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又因为ACAE=A,所以BD平面ACE,所以BDCE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若ABCD,又因为ABAD,ADCD=D,所以AB平面ADC,即ABAC.由ABAB,所以不存在这样的直角三角形.故C错误.由以上可知D错误,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知直线m:y=k1x+2与直线n:y=k2x+3+1的倾斜角分别为45和60,则直线m与n的交点坐标为_.解析:因为直线m:y=k1x+2与直线n:y=k2x+3+1的倾斜角分别为45和60,所以k1=1
8、,k2=3,即直线m:y=x+2,直线n:y=3x+3+1.由y=x+2,y=3x+3+1,解得x=-1,y=1,故直线m与n的交点坐标为(-1,1).答案:(-1,1)12.直线y=x上的任意点P与圆x2+y2-10x-2y+24=0上的任意点Q间距离的最小值为.解析:圆的标准方程为(x-5)2+(y-1)2=2,所以圆心坐标为(5,1),半径为r=2.圆心到直线y=x的距离d=|5-1|2=22,所以|PQ|的最小值为d-r=22-2=2.答案:213.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E为C1C的中点,则异面直线D1A与EO所成角的余弦值为.解析:如图,
9、取BC的中点G,连接BC1,EG,OG.设正方体的棱长为2a,则AD1BC12EG=22a,OG=a,OEG为直线D1A与EO所成的角.OG平面BCC1B1,则OGEG.因为OE=3a,所以cosOEG=EGOE=2a3a=63.答案:6314.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.解析:由三视图,可知该几何体由两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2(224)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2(222+424)-2(22)=72(cm2).
10、答案:723215.已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=_.解析:由题意得直线l的倾斜角为30,坐标原点O到直线l的距离为|6|1+(-3)2=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知E(-6,0),不妨令B(0,23),则|BE|=62+(23)2=43.因为|AB|=212-32=23,所以A为EB的中点.由题意知ACBD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cos30=|AB|cos30=2332=4.答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16
11、.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,边AB所在直线的方程为2x-y-2=0,点C(2,0).(1)求直线CD的方程;(2)求AB边上的高CE所在直线的方程.解:(1)因为四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD,所以kCD=kAB=2.故CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.(2)因为CEAB,所以kCE=-1kAB=-12.所以直线CE的方程为y=-12(x-2),即x+2y-2=0.17.(8分)求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程.解:公共弦所在直线的斜率为23,已知圆的圆心坐标为0
12、,72,故两圆圆心所在直线的方程为y-72=-32x,即3x+2y-7=0.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由(-2)2+32-2D+3E+F=0,12+42+D+4E+F=0,3-D2+2-E2-7=0, 解得D=2,E=-10,F=21.故所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.18.(9分)将长方体ABCD-A1B1C1D1沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙.(1)画出该几何体的侧视图;(2)求该几何体的体积.解:(1)该几何体的侧视图如图所示.(2)对于所截去的三棱锥B1-CC1D1,其体积为V三棱锥B1
13、-CC1D1=13B1C1SCC1D1=1351234=10, V长方体ABCD-A1B1C1D1=543=60. 故所求几何体的体积为V长方体ABCD-A1B1C1D1-V三棱锥B1-CC1D1=60-10=50. 19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点. 求证:(1)AP平面BEF;(2)BE平面PAC.证明:(1)如图,设ACBE=O,连接OF,EC.由于点E为AD的中点,AB=BC=12AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在PAC中,F为PC的中点,所以APOF.又
14、OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知,EDBC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BECD.又AP平面PCD,所以APCD,所以APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.20.(10分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(
15、x-3)2+y2=4,从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1MAB,即C1MOM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C32,0,半径r=12|OC1|=123=32,其方程为x-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以(x-3)2+y253.易知x3,所以53x3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=053x3.(3)存在实数k满足题意.由(2)知点M的轨迹是以C32,0为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点),且E53,253,F53,-253.又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时,由k32-4-0k2+1=32,得k=34.又kDE=-kDF=-0-2534-53=-257.结合上图可知当k-34,34-257,257时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.
