1、第三节 平面向量的数量积 第三节 平面向量的数量积 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1向量的数量积的概念(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量，过点O，作a，b，则_叫做向量a与b的夹角 OAOBAOB(0180)当90时，a与b垂直，记作ab；当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则把|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积)，记作_(3)规定0a0.ab|a|b|cos.1在ABC 中，向量AB，AC 的夹角与AB，CA 的夹角有什么关系？与BA，CA 的夹角有什么关系？思
2、考感悟提示：如图ABC 中，AB，AC 的夹角为A，AB，CA 的夹角为A 的补角，即AB，CA AB，AC，向量BA，CA 的夹角为A，所以AB，AC BA，CA 2向量的数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)ea_.(2)ab_.(3)当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_ 特别地aa_ ae|a|cosab0|a|b|a|b|.|a|2.(4)cos_.(5)|ab|_.3向量的数量积的运算律(1)ab_.(2)(a)b_(3)(ab)c_ 4平面向量的数量积的坐标表示(1)若 a (x1，y1)，b (x2，y2)则 ab _
3、ab|a|b|ba(ab)a(b)(R)acbc.x1x2y1y2.|a|b|(2)若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，|a|x2y2.(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_，这就是平面内两点间的距离公式(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_ 5重要不等式a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|a|b|ab|a|b|x21y21x22y22x1x2y1y2x21y21x22y22.x1x2y1y20.x2x12y2y122非零向量a，b的夹角为，则ab0是为锐角的什么条件？提示：ab0为锐角或a、b的夹角为0，而当为锐角时，ab|a|b|cos
4、一定为正值，所以ab0是为锐角的必要不充分条件思考感悟课前热身 1判断下列说法：aba2 ba；(ab)2a2b2；aaaa3；(ab)ca(bc)其中说法正确的个数为_答案：1 2(2011 年盐城质检)在ABC 中，AB a，CB b，ab0，则三角形的形状是_答案：钝角三角形 3(2009 年高考江苏卷)已知向量 a 和向量b 的夹角为 30，|a|2，|b|3，则向量a 和向量 b 的数量积 ab_.答案：3 4如果a(2x2，3)与b(x1，x4)互相垂直，则实数x等于_ 答案：72或2考点探究挑战高考 考点突破 模长问题 向量的模多为求两点间的距离，考查向量的加、减法，坐标运算和数
5、量积例1(2010年高考浙江卷)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_【思路分析】求向量的模，先平方转化为向量的数量积，再开方求模【解析】|1，|2，由(2)知，(2)0,21，所以|2|2424242410，故|2|10.【答案】10【名师点评】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|aa要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(3)有时可借助图形，如平行四边形、三角形，再结合解三角形的相关知识解决利用向量数量积解决夹角问题 向量的夹角涉及到三角函数问
6、题，因而是考查的热点之一，重点在角的范围，数量积公式的应用上，也同时可考查数形结合思想的应用设两个向量 e1、e2 满足|e1|2，|e2|1，e1 与 e2 的夹角为3，若向量 2te17e2 与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的范围例2【思路分析】由公式 cos ab|a|b|可得，若为钝角，则 cos0，即 ab0 14t 142.所求实数 t 的范围是(，7)或(12，142)或(142，)向量与三角函数的综合应用 向量与三角函数相结合，多以向量形式来表示或描述条件，即条件的表现形式呈现多样化、异样化，不再是三角函数中的简单直观陈述，结合坐标形式等向量运算进行考查知向量 a(co
7、s，sin)，b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，其中 0 x.(1)若 4，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan2 的值例3【思路分析】利用向量的数量积公式结合三角恒等变换，化简求值【解】(1)b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，4，f(x)bccosxsinx2cosxsinsinxcosx2sinxcos2sinxcosx 2(sinxcosx)令 tsinxcosx4x，则 2sinxcosxt21，且1t 2.则 yf(x)t2 2t1t 22232，1t
8、2.t 22 时，ymin32，此时 sinxcosx 22.由于4x，故 x1112.所以函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112.(2)a 与 b 的夹角为3，cos3 ab|a|b|coscosxsinsinxcos(x)0 x，0 x，x3.a c，cos(sinx 2sin)sin(cosx2cos)0.sin(x)2sin20，sin23 2sin20.52sin2 32 cos20，tan2 35【名师点评】应用三角函数知识解决向量问题是一类典型的问题，要解决这类综合性的题目，就要求我们在平时的学习中对各方面的知识熟练掌握，多积累方法、经验 变式训练 2(2011
9、年南京市高三调研)已知 a(sin，1)，b(cos，2)，0，4.(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若 ab178，求 sin24 的值解：(1)因为 ab，所以 2sincos.则 tan12.(2)因为 ab178，所以 sincos2178，即 sin214.因为 0，4，所以 20，2，则 cos2 154.所以 sin24 22 sin2 22 cos2 22 14 22 154 2 308.方法感悟 方法技巧1平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 2利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类
10、问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2.3求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 4应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的哪些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联
11、系，善于构造向量解决问题失误防范1两向量 a，b 的数量积 ab 与代数中 a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”2b 在 a 上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于 0.3计算数量积时，应注意夹角位置的判断，同时注意应用图形来判断尤其在三角形中，如AB BC 中，向量的夹角并不是角 B，而是角 B的补角考向瞭望把脉高考 考情分析 向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，是高考命题者的必选素材，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到 预测在2012年的江苏高考中，数量积的考查依然会是命题点之一，可能会与
12、其他知识结合，增加题目的灵活性，以考查概念性的题型为主 真题透析 例(2008年高考江苏卷)已知a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.【解析】|5ab|225|a|210ab|b|22511013(12)3249.|5ab|7.【答案】7【名师点评】本题考查了数量积的概念及模的大小的计算方法，向量的有关概念在高考中经常考查因此基本的解题方法必须要掌握住，求向量的模时先平方再开方是常用的方法名师预测 1设a，b是夹角为60的单位向量，若c是单位向量，则(ac)(bc)的取值范围是_解析：根据已知 ab12且|ab|1，由于(ac)(bc)abaccbc2(ab)c12，设 a
13、b 与 c的夹角为，则(ab)c|ab|c|coscos1,1，故32(ab)c1212.答案：32，122已知OA(1,1)，OB(1,2)，以OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC 与AB 的夹角的余弦为_解析：OC OA OB(0,3)，AB OB OA(2,1)，故 cos 33 5 55.答案：553在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 a 1，向 量 m sinA，cosBC2，nsinA，2cosBC2，当 mn 取到最大值时，(1)求角 A 的大小；(2)求ABC 周长的取值范围解：(1)mnsin2A2cos2BC2sin2Acos(BC)1sin2AcosA1cos2AcosAcosA12214.因为 A0，所以当且仅当 cosA12，即 A3时，mn 取到最大值(2)因为 asinA bsinB 23，所以 b 23sinB，同理 c 23sinC；因为 A3，所以 BC23；所以ABC 周长 labc1 23sinB 23sinC1 23cosB 23sin23 B1 3sinBcosB12sinB6.因为 0B23，所以6B656，即12sinB6 1，212sin(B6)3.即ABC 周长的取值范围为(2,3本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
