1、上海市浦东新区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分1.设全集，集合，则_【答案】【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为_【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】名同学的成绩由小到大排序为：，这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组
2、数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数，则_【答案】1【解析】【分析】由可得：，问题得解.【详解】由可得：故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则_【答案】0【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】是关于的实系数方程的一个根，是关于的实系数方程的另一个根，则，即，.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为 【答案】1:8【解析】试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知
3、体积比为考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是_【答案】相交【解析】【分析】由已知可得：直线的标准方程为，圆的标准方程为，再计算出圆心到直线的距离，问题得解.【详解】由直线的参数方程，可得：直线标准方程为：，由圆的参数方程，可得：圆的标准方程为：，圆心为，半径圆心为到直线的距离则直线与圆的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式展开式的第项的值为，则_【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：，解得，再由等比数列求和
4、公式，得：，从而极限可求.【详解】由已知可得：，即，解得，.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是_.【答案】【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为，即，由双曲线的渐近线方程为，可设其方程为：，再由可得：，求出，问题得解.【详解】抛物线的焦点为：双曲线的右焦点为：，即双曲线的渐近线方程为，双曲线的方程可设为：，即，由可得：，双曲线的方程是.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从（
5、且）个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等，则_【答案】10【解析】【分析】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出的个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，共有情况，由已知可得：，即，解之即可.【详解】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出的个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，情况，即整理，得：，即且，故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为
6、_【答案】【解析】【分析】由已知可得：为R上偶函数，又函数的有且只有一个零点，所以，由此可得：，解得【详解】显然，由，可得：， 为R上的偶函数.函数的有且只有一个零点， 由此可得：，解得故答案为：【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在中，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为_. 【答案】【解析】【分析】设，由，可得：再由，可得：，则，最后由可得解.【详解】设的面积为，为中点，又C、P、Q三点共线，即则当且仅当时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列满足，对任何正整数均有，设，则数
7、列的前项之和为_.【答案】【解析】【分析】由已知得：，；，由此可得：，再由等比数列求和公式可得解.【详解】，两式相加可得：，是公比为2的等比数列，首项两式相乘可得：是公比为2的等比数列，首项，由等比数列求和公式，得：故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13.若、满足 ， 则目标函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值
8、的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数中z取最大值的最优解为：.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（ ）A. 有一条B. 有二条C. 有无数条D. 不存在【答案】C【解析】【分析】易知当时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若平面，使得，又平面，平面，平面，显然满足要求的直线l有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数.给出下列结论：是周期函数； 函数图像的对称中心； 若，则；不等式的解集
9、为.则正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可知是周期为的函数， 当时，；当时，画出在一个周期内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】是周期为的函数，正确；当时，当时，可以画出在一个周期内的函数图象，如下由图可知：函数的对称中心为，正确；函数的对称轴为 若，则，即，错误；不等式等价于：由图可知：解得，正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为（ ）A. B. C. D. 【答案
10、】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：只有1种情况；且，共有种情况；且，共有种 情况；以此类推，有1（）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和，计算可得：.再思考可以分为等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：只有1种情况；集合含有3个元素：且，共有种情况；集合含有4个元素：且，共有 种情况；以此类推集合含有72个元素：，有（）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：两式对应项相加，得：同理可得：所有子集元素个数之和都是，所以集合所有直径为的子集的元素个数之和为.故选：C【点睛】本题考查了集合
11、的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的（1）求此几何体的体积；（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先算底面积，再由算出体积；（2）以点B坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出，即可得解.【详解】（1）由已知可得： （2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，则，所以，.设异
12、面直线与所成的角为，则所以，异面直线与所成角为.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为（1）求的大小；（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得：，故而，再由可得解.（2）由（1）得：，所以，由可得，再由可得，最后由正弦定理可得：，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得： 为锐角， （2）由，为锐角，得：， 由，得，又，解得由正弦定理可得：【点睛】本题考查了三家函数定义及
13、正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件：补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额（万元）的经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数的取值范围【答案】（1）当时不满足条件，见解析（2）【解析】【分析】（1）因为当时，所以不满足条件 ；（2）求导得：，当时，满足条件；当时，在上单调递增
14、，所以.由条件可知，即，等价于在上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当时，所以当时不满足条件 .（2）由条件可知，在上单调递增，所以当时，满足条件；当时，由可得当时，单调递增，解得，所以 由条件可知，即不等式在上恒成立，等价于当时，取最小值综上，参数的取值范围是【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取
15、值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知得：，问题得解；（2）由已知可得：，设直线l方程为：，,，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理，得：，最后由，可得：，代入解方程即可；（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得:，联立直线与椭圆方程得：，由，和可求b的取值范围.【详解】（1）由可得：，从而，所以椭圆方程为. （2）由于四边形是菱形，因此且. 由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. 设直线l方程为：，且,与椭圆方程联立可得：，由，可得：解得，即直线方程为.（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即.，化简得
16、：.若，则经过，不符合条件，因此.联立直线与椭圆方程得：.因为，即由得：将代入得：，解得：令，则当时，在或上单调递减，或所以b的取值范围为：.【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：等差数列：；等比数列：；（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.【答案】（1） 等差数列：不是跳跃数列； 等比数列：是跳跃数列.（2）证明见解析（3）【解析
17、】【分析】（1）数列通项公式为，计算可得：，所以它不是跳跃数列；数列通项公式为：，计算可得：，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若，则是单调递增数列，若，是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，命题成立，若时，可得：，所以当时命题也成立；（3）有已知可得：，若，则，解得；若，则，解得，由，则，得；当，则，得，问题得解.【详解】（1）等差数列：通项公式为：所以此数列不是跳跃数列；等比数列：通项公式为：所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；若，是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若，则对任何正整数，均有成立.当时， ，所以命题成立若时，则，所以当时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，故是跳跃数列.（3）若，则， 解得；若，则，解得；若，则，所以，若，则，所以，所以，此时对任何正整数，均有【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.
