1、第十四单元 随机变量及其分布 知识体系第三节离散型随机变量的均值与方差基础梳理x p 均值 数学期望 ix1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称 为随机变量X的 或 ,记为E(X)或,即E(X)=,其中 是随机变量X的可能取值,是概率,0,i=1,2,n,它反映了离散型随机变量取值的 .1x2xnx1p2pnp1122.nnx px px p1122.nnx px px pip12.1npppip平均水平 ip(2)方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示,则 (=E(X)描述了 (i=1,2,n)相对于均值的偏离程度,故 (其中 0,i=1
2、,2,n,)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为 或 ,也可用公式V(X)=计算,其算术平方根称为X的标准差,即 .2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b;(2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数).2ixix2221122.nnxpxpxp12.1nppp221niiix pV(X)2=V(X)3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,V(X)=.(2)若XB(n,p),则E(X)=,V(X)=.典例分析题型一 求随机变量的均值【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景点内有2个A班的同学
3、和2个B班的同学;乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学,后由于某种原因,甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数的分布列及期望.p p(1-p)np np(1-p)分析 所有可能的取值为1,2,3.1 2 3 p 解 设甲景点内A班同学数为,则 P(=1)=,P(=2)=P(=3)=故的分布列为 E()=11231145310C CC C 111123221111454512C CC CC CC C1122114515C CC C 151231031119123102510 学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为:(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)计算出X
4、取每一个值时的概率;(3)写出X的分布列;(4)利用公式E(X)=求出期望.1122.nnx px px p举一反三 1.(2009安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定了D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).1312解析:随机变量X的分布列是 X的均值E(X)=x 1 2 3 p 111111233266 121316
5、题型二 求随机变量的方差【例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X.(1)求随机变量X的概率分布列;(2)求随机变量X的期望与方差.分析 (1)随机变量X的意义是对号入座的学生个数,所有取值为0,1,3.若有两人对号入座,则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;(2)直接利用数学期望与方差公式求解.X 0 1 3 P 解 (1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,故X的概率分布列为 (2)E(X)=V(X)=33213A 133312CA 33116A 1312161110131326 2221
6、110 11 13 11326学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤:(1)写出X的所有取值;(2)计算P(X=xi);(3)写出分布列,并求出期望E(X);(4)由方差的定义求出V(X).说明:若XB(n,p),则E(X)=np,V(X)=np(1-p);若XH(n,M,N),则E(X)=,V(X)=nMN21nM NMNnNN举一反三 2.设在15个同类型的零件中有2个次品,每次任取1个,共取3次,并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.(1)求X的分布列;(2)求X的均值E(X)和方差V(X).解析:(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为 (2)
7、X的均值E(X)和方差V(X)分别为 E(X)=;V(X)=3133152235CC122133151235C CC21213315135C CCX 0 1 2 P 135123522352212120123535355 2222222122152012535535535175题型三 期望与方差性质的应用【例3】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到两个建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下:其中X和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好.X 1
8、10 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 分析 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值,然后再比较它们的方差.解 E(X)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125.E()=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.V(X)=V()=由于E(X)=E(),而V(X)V(),故甲建材厂的材料稳定性较好.222220.1110 1250.2120 1250.4125 1250.1130 1250.2 135
9、 12550222220.1110 1250.2115 1250.4125 1250.1130 1250.2 145 125165学后反思 离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数,均值反映了随机变量的平均取值,方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时,一般先根据均值的大小来决定,当均值相同或相差不大时,再去利用方差来决策.举一反三 3.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.(1)求方差V(X)的最大值;(2)求 的最大值.21V XE X12解析:(1)随机变量X的所有可能取值为0、1,并且有P(
10、X=1)=p,P(X=0)=1-p,从而E(X)=0(1-p)+1p=p.V(X)=当p=时,V(X)取得最大值14.(2)0p1,222011pppppp22121122ppV XpE Xpp122 2pp当且仅当 ,即 时取等号,故当 时,取得最大值 .12pp22p 22p 21V XE X22 2题型四 期望与方差的综合应用【例4】(14分)(2008广东)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为.(1)
11、求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?分析 求的分布列时,要先求取各值时的概率.解 (1)的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)=0.63,.2 P(=2)=0.25,.3 P(=1)=0.1,4 P(=-2)=.5 故的分布列为 7 1260.63200 500.25200 200.1200 40.02200 6 2 1-2 p 0.63 0.25 0.1 0.02(2)E()=60.63+20.25+10.1+(-
12、2)0.02=4.34 .9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12 依题意,E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多为3%.14 学后反思 本题主要考查学生运用知识,迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题,利用已学的知识进行处理,这也是今后高考的一大热点.举一反三 4.(2009陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的概率分布如下:(1)求a的值和的数学期望;(2)假设一月份
13、与二月份被消费者设诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a 解析:(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.0 1 2 3 p 0.1 0.3 0.4 0.2 1222CPA的概率分布为 E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得 P()=P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08,P()=P(=1)=0.3 =
14、0.09,P(A)=P()+P()=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.1A2A12C21A2A2易错警示【例】盒子里有大小相同的10个球,其中标号为1的有3个球,标号为2的有4个球,标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球,放回后第2次再任取1个球(假设取到的每个球的可能性都相同).记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.错解 由题意可知X可取3,6,7;P(X=3)=C120.30.4=0.24;P(X=6)=C120.30.3=0.18;P(X=7)=C120.40.3=0.24.故随机变量X的分布列为 X 3 6
15、 7 P 0.24 0.18 0.24 错解分析 错解忽视两次取到的球的标号相同,因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.正解 由题意可知,随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09,P(X=3)=C120.30.4=0.24,P(X=4)=0.40.4=0.16,P(X=6)=C120.30.3=0.18,P(X=7)=C120.40.3=0.24,P(X=10)=0.30.3=0.09.故随机变量X的分布列为 X 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 考点演练10.刚上大学的甲进校时购买了一
16、部新手机,他把手机号码抄给同学乙,第二天,同学乙在准备给他打电话时,发现号码的最后一个数字被撕掉了,于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字,且用过了的数字不再重复,求拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望.解析:由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为 ,拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望 E(3)=11011131231010105 11.(2009天津模拟)某箱中有红球和白球若干,有放回地抽取两次球,每次随机抽取1个球,假设事件A“取出的2个球中至多有1个是白球”的概率P(A)=0.91.(1)求从该箱中任取1个球是白球的概率p;(2)若该箱中共有100个球,从中任意抽取2个
17、球,表示取出的2个球中红球的个数,求的分布列和期望.10.3p 解析:(1)记 表示事件“取出的2个球中无白球”,表示事件“取出的2个球中恰有1个是白球”,则 、互斥,且 ,故P(A)=P()=P()+P()=于是0.91=,解得 ,(舍),所以p=0.3.0A1A0A1A01AAA01AA0A1A2122111pC ppp 21p20.3p (2)的可能取值为0,1,2,若该箱共有100个球,由(1)知白球有1000.3=30个,红球有70个.故P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为 E()=230210029330CC1170302100140330C CC2702100
18、161330CC 0 1 2 P 161330140330293302914016170123303303305 12.(2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额.(1)写出的分布列;(2)求数学期望E().12解析:(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(=0)=,P(=5)=,P(=10)=,P(=15)=,P(=20)=,P(=25)=,P(30)=.16433215645161564332164(2)E()=0 5 10 15 20 25 30 P 16433215645161564332164315515315101520253015326416643264