1、 专题研究 圆锥曲线中最值、定点、定值 例 1(1)已知 P 为抛物线 y14x2 上的动点，点 P 在 x轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_ 题型一 最值问题【答案】51【解析】如图，抛物线 y14x2，即 x24y 的焦点为F(0,1)，记点 P 在抛物线的准线 l：y1 上的投影为 P，根据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|22（1）2 5.所 以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min 51.探究1(1)看到本题，不少同学可能会依常理“出牌”构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰
2、落入了命题者有意设置的“圈套”之中事实上，与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理 (2)已知点P在直线xy50上，点Q在抛物线y22x上，则|PQ|的最小值等于_【解】设与直线 xy50 平行且与抛物线 y22x 相切的直线方程是 xym0，则由 xym0y22x消去 x 得 y22y2m0，令48m0，得 m12，因此|PQ|的最小值等于直线 xy50 与 xy120 间的距离，即等于|512|29 24.探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种：几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考
3、虑利用图形性质来解决，这就是几何法 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等 例 2(1)已知直线 yx1 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于 A、B 两点，且 OAOB.(其中 O 为坐标原点)求证：不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点 P，并求点 P 的坐标【解析】(1)由 x2a2y2b21，yx1，消去 y 得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得 a2b21.题型二 定值、定点问题 设
4、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2a2a2b2，x1x2a2（1b2）a2b2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.OAOB(其中 O 为坐标原点)，x1x2y1y20，即 2x1x2(x1x2)10，2a2（1b2）a2b2 2a2a2b210，整理得 a2b22a2b20.由 a2b22a2b20 得222a2 222b2 1，则不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点22，22.(2)已知椭圆 C 方程为x24 y22 1，当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A、B 时，在线段 AB 上取点 Q，满足|AP|QB|AQ|
5、PB|.证明：点 Q 总在某定直线上 【解】设点 Q、A、B 的坐标分别为(x，y)，(x1，y1)，(x2，y2)由题设知|AP|、|PB|、|AQ|、|QB|均不为零，记|AP|PB|AQ|QB|，则0 且1.又 A、P、B、Q 四点共线，从而APPB，AQQB.于是 4x1x21，1y1y21，xx1x21，yy1y21.从而x212x2212 4x，y212y2212 y.又点 A、B 在椭圆 C 上，即 x212y214，x222y224.2并结合、得 4x2y4.即点 Q(x，y)总在定直线 2xy20 上 (3)(厦门质检)如图，已知椭圆E：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，且
6、过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由 【解】(1)2a22b，a2b.椭圆E过点C(2,1)，224b2 1b21，b 2，a2 2，椭圆 E 的方程为x28 y22 1.(2)依题意得 D 点的坐标为(2，1)，且 D 点在椭圆 E 上 直线 CP 和 DP 的斜率 kCP和 kDP均存在，设 P(x，y)，则 kCPy1x2，kDPy1x2，kCPkDPy1x2y1x2y21x24.又点 P 在椭圆 E 上，x28 y22 1，
7、x284y2，kCPkDPy21x2414，直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值14.探究 2 圆锥曲线中定值问题关键是灵活利用条件，等价转化 例3 若抛物线yax21上恒有关于直线xy0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是_【分析】(1)直线AB的方程必为yxb，根据点A，B关于直线xy0对称，用参数a表示出b，根据直线与抛物线相交于不同两点建立关于参数a的不等式；(2)求出抛物线斜率为1的平行弦中点的轨迹方程，利用这个轨迹方程与直线xy0的交点在抛物线内部建立关于参数a的不等式【解析】解法一：设抛物线上的两点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的方程为 yxb，代入抛物线方程
8、 yax21，得 ax2x(b1)0.设 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0 12a，y0 x0b 12ab.由于 M(x0，y0)在直线 xy0 上，故 x0y00，由此得 b1a，此时 ax2x(b1)0 变为 ax2x(1a1)0.由14a(1a1)0，解得 a34.故填 a34.解法二：根据点差法，不难求出抛物线 yax21 的斜率为 1 的平行弦中点的轨迹方程是 x 12a.当 a0 时，y 14a1；当 a0 时，y0 时，12a 14a1，解得 a34；当 a0 时，12a34.故填 a34.探究3 圆锥曲线上存在不同的两点关于某条直线对称，试确定圆锥曲线中或者直线中的某个参数的取值范围，这是圆锥曲线中的一个难点化解这个难点的方法有两种：一是利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上，写出用参数表达的直线方程，利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点，由判别式大于零列关于参数的不等式解决；二是利用圆锥曲线上与对称轴垂直的平行弦中点的轨迹与对称轴的交点在圆锥曲线内部，列关于参数的不等式解决 专题训练
