1、第十单元 立体几何 知识体系第八节 立体几何中的向量方法(*)基础梳理111222,a b ck a b c1.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 如果 ,那么 =k ;如果 ,那么 .1l1111,ua b c2l2222,ua b c1l2l1u2u 1u2u 1l2l1u2u 120uu1 21 21 20a abbc c1 21 21 20a abbc c111222,a b ck a b c111222,a b ck a b c(2)直线l的方向向量为 ,平面的法向量为 若l,则un un=0 ;若l,则un u=
2、kn .(3)平面的法向量为 ,平面的法向量为 若,则 ;若,则 .2.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线aa,bb,则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.111,ua b c222,na b c1111,ua b c2222,ua b c1u2u12uku12uu120uu1 21 21 20a abbc c范围:两条异面直线所成角的取值范围是 .向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,直线 a、b的夹角为,则有cos=.(2)直线与平面所成的角 定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角
3、.范围:直线和平面所成角的取值范围是 .向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有 sin=.0,2cosa ba b0,2cosa ua u二面角 二面角的面 平面角 0,)(3)二面角 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,这两个半平面叫做 .在二面角的棱上任取一点O,以O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的 .二面角的取值范围是 .二面角的向量求法:()若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与
4、的夹角(如图).ABCD棱 ()设 ,分别是二面角-l-的两个面、的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图、).1n2n1n2n典例分析题型一 利用空间向量证明平行、垂直问题【例1】如图,已知直三棱柱 中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=,D、E、F分别为 、BC的中点.求证:(1)DE平面ABC;(2)平面AEF.111ABCABC1AA1B A1C C1B F分析 由题可知，题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何方法，利用线面垂直、线面平行的判定定理来解决.证明 如图建立空间直角坐标系
5、,令AB=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),(4,0,4).(1)取AB中点N,连接NC,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2).=(-2,4,0),=(-2,4,0),DENC.又NC在平面ABC内,DE平面ABC.1AA1BDENCDENC学后反思 (1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行,可用传统法，也可用向量法,用向量法更为普遍.(2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明,也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.(3)证明面面垂直通常转化为证线面
6、垂直,也可用两平面的法向量垂直来证明.(2)易知 =(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0),则 =(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,EF.=(-2)2+22+(-4)0=0,即 AF.又AFFE=F,平面AEF.1B FEFAF1B FEF1B FEF1B FAF1B FAF1B F1B F1B F举一反三 1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于F.求证：(1)PA平面BDE;(2)PB平面DEF.PA证明：(1)如图建立空间直角坐标系,设DC=a,ACBD=G,连接EG,则 A(a
7、,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E ,G .于是 =(a,0,-a),PAEG.又EG 平面DEB,PA 平面DEB,PA平面DEB.0,2 2a a,02 2a a,0,22aaEG2PAEG(2)由P(0,0,a),B(a,a,0),得 =(a,a,-a).又 ,PBDE.又EFPB,EFDE=E,PB平面EFD.PB0,2 2a aDE 22022aaPB DE题型二 两条异面直线所成的角【例2】长方体 中,AB=4,AD=6,=4,M是 的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是 的中点,求异面直线AM与PQ所成的角的余弦值.1111ABCDABC D1AA11AC1DD
8、分析 本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决.欲 求异面直线所成的角，一般可以从公式cosab=入手，先求得所需向量，代入即可.注意求角的过程中，异面直线所成角的范围(0,.a ba b2学后反思 求异面直线所成角的主要方法:(1)定义法(平移法);(2)向量法:建立坐标系求相关向量的坐标,通过向量坐标运算求角;有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角;(3)有些问题是垂直问题,可利用三垂线定理来确定.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.解 如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2
9、).=(-2,3,4),=(4,2,2),=(-2)4+32+42=6,故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为 AMPQ22223429AM 22242224PQ AMPQ174cos,58AMPQAM PQAM PQ17458举一反三 2.如图所示,是直三棱柱,BCA=90,点 、分别是 和 的中点,若BC=CA=,求 与 所成角的余弦值.111ABCABC1D1F11A B11AC1CC1BD1AF解析:方法一:如图所示,连接 ,取BC中点M,连接 ,MA,则 BM.又 四边形 是平行四边形,是异面直线 和 所成的角.设BC=CA=1,则 ,11D F1MF11D F11B C111112
10、D FB CBM11BMF D1MF1BD1FM A1BD1AF1CC215144AM 22211231()22MFBD 2115144AF 153530424cos1035224MF A 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=2,A(2,0,0),B(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2).、分别为 、的中点,(1,1,2),(1,0,2).=(1,-1,2),=(-1,0,2),=(1,-1,2)(-1,0,2)=3,1CC1A1C1B1D1F11A B11AC1D1F1BD1AF11BDAF211 1 26BD 211 25AF 1133 3030co
11、s,301065BD AF题型三 直线与平面所成的角【例3】如图,在三棱锥PABC中,ABBC,AB=BC=PA.点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB;(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.分析（1）根据线面平行的判定定理.（2）几何求法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解.12解 方法一:(1)证明:O、D分别为AC、PC的中点,ODPA.又PA 平面PAB且OD PAB,OD平面PAB.(2)ABBC,OA=OC,OA=OB=OC.又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E
12、,连接PE,则BC平面POE,平面PB平面PDE，作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角.在RtODF中,sinODF=OFOD=,OD与平面PBC所成角的正弦值为 2103021030方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)证明:D为PC的中点,OD=(a,0,h).又 =(a,0,-h),ODPA,OD平面PAB.2222222412PA221
13、2ODPA(2)设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),易得 取x=-1时,n=(-1,1,),设OD与平面PBC所成的角为,OD与平面PBC所成角的正弦值为 77 210cos,30OD nOD nOD n210sincos,30OD n 21030学后反思 几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行.在用向量法求直线OP与平面所成的角时一般有两种途径：是直接求 ，其中OP为斜线OP在内的射影；是通过求n,进而转化求解，其中n为平面的法向量，此时应注意OP与平面所成角与n,的关系，它们互为余角.注意最后完成转化.,OP OPOPOP举一反三 3.在正方
14、体 中,E、F分别为 与AB的中点,求 与 截面 所成的角的正弦值.解析：建立以D为原点,DA,DC,分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1.设平面 的法向量n=(x,y,z),则n =0,n =0.=(-1,0),=(0,1),令y=2,n=(1,2,1).1AC11D C11A B1A ECF1DD1A ECFFCCEFC12CE12102102xyyz 1212xyzy 又 =(0,1,0),与平面 所成的角的正弦值为 .11A B1122226cos,3121n A B11A B631A ECF题型四 二面角【例4】(14分)(2009高邮模拟)如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，O
15、B，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角ABEC的余弦值.分析 建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用EB与AC的夹角解决（1），计算平面ABE及平面BEC的法向量，求法向量的夹角来解决(2).25解 （1）以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).2 =(2,-1,0),=(0,2,-1),.4 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是 .6（2）=（2，0，-1），=(0,1,-1),10 设
16、平面ABE的法向量为 =(x,y,z),则由 ，得 2x-z=0 y-z=0.取 =(1,2,2),平面BEC的一个法向量为 =(0,0,1),12 EB22cos,555EB AC ACABAE1n1nAB1nAE1n2n 由于二面角A-BE-C的平面角是 与 的夹角的补角，其余弦值是 14 12121222cos,31 44nnn nnn1n2n23学后反思 (1)利用向量法解答有关空间角的问题，其关键在于相关点的坐标表示，在计算过程中应力求准确.由于向量所成角与线线角间存在区别与联系，因此在计算完成后注意验证其结果的严密性和准确性，防止增解或误解.(2)确定二面角的平面角的常用方法:定义
17、法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.向量法:求出两个平面的法向量的夹角,然后结合图形,求二面角的平面角.举一反三 4.如右图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.12解析：如图
18、建立空间直角坐标系,则依题意可知,D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=(,0,0)=是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量 =(x,y,z),12121n2n1,0,12SD1,1,02DC 20nSD20nDC可推出 ,.令x=2,则有y=-1,z=1.=(2,-1,1).设所求二面角的大小为,则 sin=,tan=.02xz02xy2n1221222212010 162312112nnn n 3322易错警示【例】在正方体 中，E是棱 的中点，求截面 与半平面ACD所成二面角的余弦值.1111ABCDABC D1AA1EBC1EBC错解 如图，建立空间直角坐标系
19、D-xyz,设正方体的棱长为1,则 (1,1,1),C(0,1,0),E(1,0,).=(-1,0,-1),=(1,-1,),设n=(x,y,z)是平面 的法向量，则 令z=1得 .易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，|m|=1,|n|=,所求二面角的余弦值为 .1B121B CCE121011022xzxznB CxyzyznCE 11,12n 3212cos,331 2m nm nm n23错解分析 通过建立空间直角坐标系，把二面角的平面角转化为法向量的夹角时，要注意平面的法向量有两种指向，必须结合图形确定法向量的夹角与所求二面角的平面角是相等的，还是互补的.本例中，如求截面E
20、B1C与半平面ACB所成的二面角的大小就正确了.正解 在得到cosm,n=后，应指出由于所求的二面角是钝角，因此其余弦值为 .23 23考点演练10.(2010吉林实验中学模拟)将A=60的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使A、C的距离等于BD，求二面角A-BD-C的余弦值.解析：设菱形对角线交于点E，易知AEC即为所求的二面角的平面角.设AB=a，由条件可得AE=EC=,AC=a,根据余弦定理即可解得二面角A-BD-C的余弦值为 .32a1311.(2009上海)如图，在直三棱柱 中，=BC=AB=2,ABBC,求二面角 的大小.111ABCABC1AA111BACC解析：如图，建立空间直角
21、坐标系.则 A（2，0，0），C（0，2，0），（2，0，2），（0，0，2），（0，2，2）,设AC的中点为M，BMAC,BM ，1A1B1C1CCBM平面 ，即 =(1,1,0)是平面 的一个法向量.设平面 的一个法向量为n=(x,y,z).=(-2,2,-2),=(-2,0,0),n =-2x=0,n =-2x+2y-2z=0,令z=1，解得x=0,y=1,n=(0,1,1).设法向量n与BM的夹角为，二面角 的大小为，显然为锐角.cos=|cos|=,解得=，二面角 的大小为 .11AC CBM11AC C11A B C1AC11A B11A B1AC111BACC12n BMn BM
22、3111BACC312.如图,棱长为1的正方体 ，点E、F、G分别是 、BD、的中点.(1)求证:EFCF;(2)求EF与CG所成角的余弦;(3)求CE的长.解析:以D为原点，建立如图所示的直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,)，C（0,1,0),G(1,1,),.(1)，121 1,02 2F 121 11,2 22EF11,022CF11,0,2OG10,1,2CE111110022222EFCF 1111ABCDABC D1DD1BB ,即EFCF.(2)(3)EFCF111111022224EFOG 22211132222EF 222151022CG1154cos,53522EFOGEF OGEF OG222150122CE
