1、增分强化练(三十二)1已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F为抛物线y24x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OPOQ，求OPQ面积的最小值解析：(1)y24x的焦点为(1,0)，椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c1，又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|2a4，a24，b2a2c2413，所以椭圆C的标准方程为1.(2)当P，Q为椭圆顶点时，易得OPQ的面积为2，当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为ykx(k0)，由，得x2，所以|OP| ，由OPOQ，得直线OQ的方程为：yx，所以|OQ| ，所以SOPQ|OP|OQ|6 6
2、6 ，k224，当且仅当k21时等号成立，所以0，所以SOPQb0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(，)满足120.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1k2的值解析：(1)依题意F1(c,0)，12c230，即c，e，a2，b2a2c21，椭圆C的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(14k2)x28k2x4(3k21)0，则x1x2，x1x2，k1，k，k2成等比数列，k1k
3、2k2，则(x1x2)3，即，解得k2，故k1k2.3已知抛物线C：y22px(0p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2n，y1y2t，则kPAkPB.由题意，得y1y2(y1y2)11，即y1y2(y1y2)0，将代入得tn0，即tn.所以l：xn(y1)显然l过定点(0，1)4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E，D两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)因为椭圆C的焦距为
4、2，长轴的长为4，所以2c2,2a4，解得c1，a2，所以b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)易知F1(1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)联立方程，得得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2.又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2(1)，直线ME，MD的斜率kME，kMD，则kMEkMD.要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2120，解得m2.当m2时，kMEkMD；当m2时，kMEkMD.当直线l的斜率不存在时，不妨设E(1，)，D(1，)，此时，当m2时，M(2,0)，kMEkMD；当m2时，M(2,0)，kMEkMD.综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值；当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值.
