1、第七节 解三角形应用举例授课提示:对应学生用书第313页A组基础保分练1在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC等于()A10B50C120 D130解析:由已知BAD60,CAD70,BAC6070130答案:D2如图所示,B,C,D三点在地面同一直线上,DCa,从C,D两点测得A点的仰角分别为和(),则A点距地面的高AB等于()ABCD解析:由ABACsin ,得AB答案:A3如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D3
2、0(1)m解析:如图,在ACD中,CAD903060,AD60 m,所以CDADtan 6060(m)在ABD中,BAD907515,所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案:C4某人在C点测得某塔在南偏西80,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A15米 B5米C10米 D12米解析:如图,设塔高为h,在RtAOC中,ACO45,则OCOAh在RtAOD中,ADO30,则ODh在OCD中,OCD120,CD10,由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD,即(h)2h21022h
3、10cos 120,h25h500,解得h10或h5(舍)答案:C5如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC45,根据以上数据可得cos _解析:由DAC15,DBC45可得BDA30,DBA135,BDC90(15)3045,由内角和定理可得DCB180(45)4590,根据正弦定理可得,即DB100sin 15100sin(4530)25(1),又即,得到cos 1答案:16(2021河北衡水模拟)在等腰ABC中,BAC120,AD为边BC上的高,点E满足
4、3,若ABm,则BE的长为_解析:因为ABC是等腰三角形,BAC120,ADBC,所以ABC30,BAD60,又因为ABm,所以AD m,由3 ,得AEm,在ABE中,ABm,AEm,BAE60,所以由余弦定理,得BE2AB2AE22ABAE cosBAEm2m22mmcos 60m2,所以BEm答案:m7隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,同时,测得ACB75,BCD45,ADC30,ADB45(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离解析:在ACD中,ACD120,CADADC30,所以ACCD在BCD中,BCD45,BDC75,CBD60,由正
5、弦定理知BC在ABC中,由余弦定理,得AB2AC2BC22ACBCcosACB()22cos 75325,所以AB,所以A,B两目标之间的距离为 km8如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的高度为多少米?(取14,17)解析:如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A15,DBC45,所以ACB30,AB5042021 000(m)又在ABC中,所以BCsin 1510 500()因为CDAD,所以CDBCsinDBC10 500()10 500
6、(1)7 350(m)故山顶的高度为10 0007 3502 650(m)B组能力提升练1(2021云南红河州质检)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB()A5B15C5D15解析:在BCD中,CBD18045135由正弦定理得,所以BC15在RtABC中,ABBCtanACB1515答案:D2(2021衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB5,BC8,CD3,DA5,且B与D互补,则AC的长
7、为()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析:在ABC中,由余弦定理,得AC2AB2BC22ABBCcos B,即AC22564258cos B8980cosB在ADC中,由余弦定理,得AC2AD2DC22ADDCcos D,即AC2259253cos D3430cosD因为B与D互补,所以cos Bcos D,所以,解得AC7 km答案:A3(2021武汉武昌区调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 h B15
8、 hC16 h D17 h解析:记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置(图略),在OAB中,OA600,AB20t,OAB45,根据余弦定理得OB26002400t2220t600,令OB24502,即4t2120t1 5750,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)答案:B4(2021天津模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20
9、海里解析:如图所示,易知,在ABC中,AB20海里,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10(海里)答案:A5一船以每小时15 km的速度向正东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为km解析:如图所示,依题意有AB15460(km),MAB30,AMB45在AMB中,由正弦定理得,解得BM30(km)答案:306(2021皖中名校联考)如图所示,位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45(045)的C处,AC10
10、海里在离观测站A的正南方某处D,tanDAC7(1)求cos ;(2)求该船的行驶速度v(海里/时)解析:(1)tanDAC7,sinDAC7cosDACsin2DACcos2DAC1,sinDAC,cosDAC,cos cos(135DAC)cosDACsinDAC(2)由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos ,BC2(10)2(20)221020360,BC6 海里t20分钟小时,v18 海里/时C组创新应用练1如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3
11、分钟若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径的长度为()A50 米B50 米C50 米 D50 米解析:设该扇形的半径为r米,连接CO由题意,得CD150米,OD100米,CDO60在CDO中,CD2OD22CDODcos 60OC2,即150210022150100r2,解得r50答案:B2如图所示,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PMPNMN2(单位:千米)如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解析:设AMN,在AMN中,因为MN2,所以AMsin(120)在APM中,cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150),(0,120)当且仅当2150270,即60时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2所以设计AMN60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小