1、第七节 解三角形应用举例授课提示：对应学生用书第313页A组基础保分练1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC等于（）A10B50C120 D130解析：由已知BAD60，CAD70，BAC6070130答案：D2如图所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和（），则A点距地面的高AB等于（）ABCD解析：由ABACsin ，得AB答案：A3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于（）A240（1）m B180（1）mC120（1）m D3
2、0（1）m解析：如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060（m）在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560（2）（m）所以BCCDBD6060（2）120（1）（m）答案：C4某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A15米 B5米C10米 D12米解析：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh在RtAOD中，ADO30，则ODh在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即（h）2h21022h
3、10cos 120，h25h500，解得h10或h5（舍）答案：C5如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _解析：由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90（15）3045，由内角和定理可得DCB180（45）4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin（4530）25（1），又即，得到cos 1答案：16（2021河北衡水模拟）在等腰ABC中，BAC120，AD为边BC上的高，点E满足
4、3，若ABm，则BE的长为_解析：因为ABC是等腰三角形，BAC120，ADBC，所以ABC30，BAD60，又因为ABm，所以AD m，由3 ，得AEm，在ABE中，ABm，AEm，BAE60，所以由余弦定理，得BE2AB2AE22ABAE cosBAEm2m22mmcos 60m2，所以BEm答案：m7隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离解析：在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，由正
5、弦定理知BC在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB（）22cos 75325，所以AB，所以A，B两目标之间的距离为 km8如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的高度为多少米？（取14，17）解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000（m）又在ABC中，所以BCsin 1510 500（）因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500（）10 500
6、（1）7 350（m）故山顶的高度为10 0007 3502 650（m）B组能力提升练1（2021云南红河州质检）如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB（）A5B15C5D15解析：在BCD中，CBD18045135由正弦定理得，所以BC15在RtABC中，ABBCtanACB1515答案：D2（2021衡阳模拟）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长
7、为（）A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B，即AC22564258cos B8980cosB在ADC中，由余弦定理，得AC2AD2DC22ADDCcos D，即AC2259253cos D3430cosD因为B与D互补，所以cos Bcos D，所以，解得AC7 km答案：A3（2021武汉武昌区调研）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A14 h B15
8、 hC16 h D17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置（图略），在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2220t600，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15（h）答案：B4（2021天津模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（）A10 海里 B10 海里C20 海里 D20
9、海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10（海里）答案：A5一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为km解析：如图所示，依题意有AB15460（km），MAB30，AMB45在AMB中，由正弦定理得，解得BM30（km）答案：306（2021皖中名校联考）如图所示，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45（045）的C处，AC10
10、海里在离观测站A的正南方某处D，tanDAC7（1）求cos ；（2）求该船的行驶速度v（海里/时）解析：（1）tanDAC7，sinDAC7cosDACsin2DACcos2DAC1，sinDAC，cosDAC，cos cos（135DAC）cosDACsinDAC（2）由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos ，BC2（10）2（20）221020360，BC6 海里t20分钟小时，v18 海里/时C组创新应用练1如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3
11、分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A50 米B50 米C50 米 D50 米解析：设该扇形的半径为r米，连接CO由题意，得CD150米，OD100米，CDO60在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50答案：B2如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PMPNMN2（单位：千米）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？解析：设AMN，在AMN中，因为MN2，所以AMsin（120）在APM中，cosAMPcos（60）AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2（120）422sin（120）cos（60）sin2（60）sin（60）cos（60）41cos（2120）sin（2120）4sin（2120）cos（2120）sin（2150），（0，120）当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小