1、第四节 幂函数、二次函数A组基础对点练1已知幂函数f(x)x的图象过点(4，2).若f(m)3，则实数m的值为()A BC9 D9解析：由f(4)42可得，即f(x)x，f(m)m3，则m9.答案：D2幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线yx的上方答案：C3已知幂函数f(x)x的图象过点，则函数g(x)(2x1)f(x)在区间上的最小值是()A1 B0C2 D解析：由题设31，故g(x)(2x1)x12在上单调递增
2、，则当x时取最小值g220.答案：B4幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数解析：设幂函数f(x)x，代入点(3，)，得3，解得，所以f(x)x，可知函数为奇函数，在(0，)上单调递增答案：C5若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbac解析：因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.答案：D6若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A
3、1m0n1 B1n0mC1m0n D1n0m1解析：幂函数yx，当0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，0m1；当0时，yx在(0，)上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，1n0.答案：D7已知函数yax2bxc，如果abc，且abc0，则它的图象是()解析：abc，abc0，a0，c0，函数yax2bxc的图象开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上答案：D8若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0，4 BC D解析：二次函数yx23x4的图象的对称轴为直线x，且f，f(3)f(0)4，结合图象易得m.答案：D9函数f(x)4x2mx5在
4、区间2，)上是增函数，则()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析：函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，由已知可得2，得m16，所以f(1)412m159m25.答案：A10命题“ax22ax30恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()Aa0或a3 Ba0或a3Ca0或a3 D0a3解析：若ax22ax30恒成立，则a0或可得0a3，故当命题“ax22ax30恒成立”是假命题时，a0或a3.答案：A11已知0mn1，且1aan Bbmna Dmb1)在(0，)上为单调递增函数，且0mn1，mana，又g(x)mx(0m1)在R上为单调递减函数，且1ab，mbm
5、a.综上，mbna.答案：D12设二次函数f(x)ax24axc在区间0，2上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0 B(，02，)C2，) D0，4解析：二次函数f(x)ax24axc在区间0，2上单调递减，又因为它的对称轴是直线x2，所以a0，即函数的图象开口向上，所以f(0)f(4)，则当f(m)f(0)时，有0m4.答案：D13已知.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_解析：幂函数f(x)x为奇函数，可取1，1，3.又f(x)x在(0，)上递减，0，故1.答案：114已知幂函数f(x) (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的
6、值为_解析：因为f(x)在(0，)上是减函数，所以m22m30，解得1m3.又mN*，所以m1或m2.由于f(x)的图象关于y轴对称，所以m22m3为偶数又当m2时，m22m3为奇数，所以m2舍去，因此m1.答案：115二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且对xR，都有f(2x)f(2x)，则函数f(x)的解析式为_解析：因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以f(x)的对称轴为x2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0).又因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a3，
7、a1，所以所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.答案：f(x)x24x316已知函数f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_解析：由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减，g(x)ming(1)1.k1，故k的取值范围为(，1).答案：(，1)B组素养提升练1有四个幂函数：f(x)x1；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是y|yR，且y0；(3)在(，0)上是增函数如果他给出的三个性质中，有两个正
8、确，一个错误，则他研究的函数是()A BC D解析：f(x)x1只满足(2)；f(x)x3只满足(3)；f(x)x只满足(3).f(x)x2是偶函数，在(，0)上是增函数，但是其值域是y|y0答案：B2已知函数f(x)ax2bxc，且abc，abc0，集合Am|f(m)0，则()AmA，都有f(m3)0BmA，都有f(m3)0Cm0A，使得f(m03)0Dm0A，使得f(m03)0解析：由abc，abc0可知a0，c0，且f(1)0，f(0)c0，即1是方程ax2bxc0的一个根，当x1时，f(x)0.由ab，得1，设方程ax2bxc0的另一个根为x1，则x111，即x12，由f(m)0可得2
9、m1，所以1m34，由抛物线图象可知f(m3)0.答案：A3已知函数f(x)x22tx1在区间2，5上单调且有最大值8，则实数t的值为_解析：函数f(x)x22tx1图象的对称轴是xt，函数在区间2，5上单调，故t2或t5.若t2，则函数f(x)在区间2，5上是增函数，故f(x)maxf(5)2510t18，解得t；若t5，函数f(x)在区间2，5上是减函数，此时f(x)maxf(2)44t18，解得t，与t5矛盾综上所述，t.答案：4已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，对任意的x11，2，都存在x01，2，使得g(x1)f(x0)，则实数a的取值范围是_解析：当x01，2时，由
10、f(x)x22x得f(x0)1，3，又对任意的x11，2，都存在x01，2，使得g(x1)f(x0)，所以当x11，2时，g(x1)1，3.当a0时，解得a.综上所述，实数a的取值范围是.答案：5(2020沧州七校联考)已知两函数f(x)8x216xk，g(x)2x24x4，其中k为实数(1)对任意x3，3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)存在x3，3，使f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x23，3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围解析：(1)设h(x)f(x)g(x)6x212x4k，问题转化为x3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)max0.由
11、二次函数的性质可知h(x)maxh(3)86k，有86k0，得k86.(2)由题意，存在x3，3，使f(x)g(x)成立，即h(x)f(x)g(x)6x212x4k0在x3，3时有解，故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)minh(1)10k，有10k0，得k10.(3)对任意x1，x23，3，都有f(x1)g(x2)成立，所以f(x)maxg(x)min，x3，3.由二次函数的性质可得f(x)maxf(3)120k，g(x)ming(1)2.故有120k2，得k118.6已知函数f(x)bx22axa(a，bR)的图象过点.(1)当a2时，求函数f(x)在0，3上的最大值和最小值；(2)若a0，求使函数f(x)的定义域为1，1，值域为2，2的a的值解析：(1) 函数f(x)bx22axa(a，bR)的图象过点，b2aa，解得b1.当a2时，f(x)x24x2，其图象关于x2对称，f(x)在0，2上单调递减，在2，3上单调递增，f(x)在0，3上的最小值为f(2)2，又f(0)2，f(3)1，f(x)在0，3上的最大值为f(0)2.(2)由(1)知f(x)x22axa，当1a0时，有即解得a1；当a1时，有即解得a1(舍去).综上所述，a1.
