1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系授课提示：对应学生用书第343页A组基础保分练1以下四个命题中，正确命题的个数是（）不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2 D3解析：对于，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故正确；对于，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故不正确；对于，b，c也可异面，故不正确；是错误的答案：B2两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（）A两条相交直线 B两条平行直线C两个点 D一条直线和
2、直线外一点解析：如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点答案：C3（2021唐山模拟）已知，是两个不重合的平面，直线a，p：a，q：，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由平面平行的性质，显然qp；若a，a，则，可能平行、相交，p/
3、 q故p是q的必要不充分条件答案：B4，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是（）A若mn，m，n，则B若m，则mC若l，m，m，则mlD若mn，m，n，则解析：由，是两个平面，m，n是两条直线，知在A中，mn，m，n，由面面垂直的判定得，故A正确；在B中，m，由面面平行的性质得m，故B正确；在C中，l，m，m，由线面平行的性质得ml，故C正确；在D中，mn，m，n，得与相交或平行，故D错误答案：D5将下面的平面图形（图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（）A BC D解析：图翻折后点N与点Q重合，两直线相交；图翻折后两直线
4、平行，因此选C答案：C6平面外有两条直线a，b，它们在平面内的正投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是（）A若ab，则mnB若mn，则abC若mn，则abD若m与n相交，则a与b相交或异面解析：对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的正投影分别为AB，AD，分别记为m，n，此时mn，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面
5、ABCD上的正投影分别为AB，CD，分别记为m，n，此时mn，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确答案：D7（2019高考北京卷）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_解析：若l，lm，则m，显然正确；若lm，m，则l，l与相交但不垂直都可以，故不正确；若l，m，则l垂直内所有直线，在内必存在与m平行的直线，所以可推出lm，故正确答案：若lm，l，则m（答案不唯一）8设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的
6、两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l与平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；若直线l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直真命题的序号有（写出所有真命题的序号）解析：由，为不重合的两个平面，知在中，若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则由面面平行的判定定理得平行于，故正确；在中，若外一条直线l与内的一条直线平行，则由线面平行的判定定理得l和平行，故正确；在中，设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则与所成的角可能是锐角，也可能是直角，故错误；在中，只有直线l与内的两条相交直线垂直，才有直线l与垂直，故错误故答案为答案：9（2020高考全国卷）如图
7、，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点C1在平面AEF内证明：（1）如图，连接BD，B1D1因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD因为BB1平面ABCD，于是ACBB1又BDBB1B，所以AC平面BB1D1D由于EF平面BB1D1D，所以EFAC（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连接GD1，FC1，FG因为D1EDD1，AGAA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AEGD1因为B1FBB1，A1GAA1，BB1綊AA1，所
8、以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1FC1于是AEFC1所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内B组能力提升练1（2021济宁模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAEB1C1DA1C1平面AB1E解析：对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60，所以AC不垂直于平面ABB1A1，
9、故B错误；对于C，AEBC，BCB1C1，所以AEB1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，ACA1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误答案：C2已知三个平面，a，b是异面直线，a与，分别交于A，B，C三点，b与，分别交于D，E，F三点，连接AF交平面于点G，连接CD交平面于点H，则四边形BGEH的形状为（）A平行四边形 B矩形C菱形 D梯形解析：平面，A，D，连接AD，AD平面，同理BH平面，BHAD同理GEAD，BHGE同理BGHE，四边形BGEH是平行四边形答案：A3已知直线l平面，直线m平面，给出下面四个结论：若l与m不垂直，则l与一定不垂直；若l与m所成的角
10、为30，则l与所成的角也为30；lm是l的必要不充分条件；若l与相交，则l与m一定是异面直线其中正确结论的个数为（）A1 B2C3 D4解析：对于，当l与m不垂直时，假设l，那么由l定能得到lm，这与已知条件矛盾，因此l与一定不垂直，故正确；对于，易知l与m所成的角为30时，l与所成的角不一定为30，故不正确；对于，lm可以推出l，但是l不能推出lm，因此lm是l的充分不必要条件，故不正确；对于，若l与相交，则l与m相交或异面，故不正确故正确结论的个数为1答案：A4（2021河南安阳调研）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1ECF，则当EBC
11、的面积取得最小值时，_解析： 如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G由题意得CF平面B1D1G，所以当点E在直线B1G上时，D1ECF，设BCa，则SEBCEBBCEBa，当EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，所以线段EB长度的最小值为，所以答案：5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点，点F在棱CC1上，ABBCCACF2，AA13，给出下列说法：设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交；在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥NADF的体积为；设点M在BB1上，当BM1时，平面CAM平面
12、ADF；在棱A1B1上存在点P，使得C1PAF其中正确说法的序号为_解析：连接CE交AD于点O（图略），则O为ABC的重心，连接OF，由已知得OFEC1，则EC1l，故错；若存在点N在A1C1上，则VNADFVDAFN，当N与C1重合时，VDAFN取最小值为，故错；当BM1时，可证得CBMFCD，则BCMCDF90，即CMDF易得AD平面CBB1C1，ADCM，ADDFD，则CM平面ADF，又CM平面AMC，平面CAM平面ADF，故正确；过C1作C1GFA交AA1于点G（图略），若在A1B1上存在点P，使得C1PAF，则C1PC1G，易得C1PGA1，C1P平面A1C1G，则C1PA1C1，矛
13、盾，故错答案：6如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点，已知BAC，AB2，AC2，PA2求：（1）三棱锥PABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值解析：（1）SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE故异面直线BC与AD所成角的余弦值为C组创新应用练1设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（）A不存在 B只有1个C恰有4个 D有无
14、数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面作与平行的平面，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面有无数多个答案：D2异面直线l与m成60角，异面直线l与n成45角，则异面直线m与n所成角的取值范围是（）A15，90 B60，90C15，90） D15，60解析：如图，在直线l上任取一点O，过O作mm，nn当m，n，l三线共面时，m与n所成的最小角为15，即异面直线m与n所成角的最小值是15设n与l固定，把m绕点O旋转，则m与n所成的最大角为90答案：A3平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（）A15 B16C17 D18解析：法一：一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成7部分，注意到直线将平面分成的部分数满足422，743，归纳可知：四条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成7411部分，五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成11516部分法二：如图，画出两两相交且任意三条不共点的五条直线，易知将平面分成16部分答案：B
