1、2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（山东卷）数学（理科）考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷答题卡规定填写自己的姓名座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2 答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3 答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷
2、草稿纸上答题无效4 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交参考公式：椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高若（x，y），（x，y），（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算第卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，没小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合，则=（ ）A B C D 2设复数，则在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3对于函数，下列命题中正确的是（ ） ABCD4已知点的坐标满足条件 那么的取值范围是（ ）ABC D5若，则是成立的（ ）A充分必要条件
3、 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件6将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（ ）A B C D7有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据如下表：平均气温（）销售额（万元）20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温之间线性回归方程的系数则预测平均气温为时该商品销售额为（ ）A万元 B万元 C万元 D万元8已知分别是双曲线的左右焦点，过且平行于轴的直线交双曲线的渐近线两点若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D9已知，若那么与在同一坐标系内的图象可能是（ ）ABCD10
4、已知，（ ）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数D既奇且偶函数11某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）ABCD12已知向量，若实数与向量满足，则可以是（ ）ABCD 第卷（共90分） 一填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知程序框图如右，则输出的= 14的展开式中的常数项是 （用数字作答）15设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，令，则的值为 16已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是_三解答题：本大题共6小题，共74分17（本小题满分12分）已知函数，（1）求的零点； （2）求的最大值和最小值18（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球
5、和3个黑球（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望19（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示 ABCDO（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值20（本小题满分12分）已知数列的前项和，；（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，试比较与的大小，并予以证明21（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点位于原点处，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关
6、系是，该函数相邻两个零点之间的距离为（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结 论奇偶性单调性递增区间递减区间零点（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围22（本小题满分14分）设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为1若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上（1）求满足条件的曲线和曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于点（在轴左侧），若，求直线的倾斜角 2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（山东卷）数学（理科）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
7、）1-5 DDBDC 6-11 AACCADD二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13914-2015-216三解答题：（本大题共6小题，共74分）17解法一：（1）解：令，得 ，所以，或由 ，得； 由 ，得综上，函数的零点为或 （2）解： 因为，所以当，即时，的最大值为；当，即时，的最小值为 解法二：（1）解：令，得 因为，所以 所以，当，或时，即 或时，综上，函数的零点为或 （2）解：由（1）可知，当，即时，的最大值为；当，即时，的最小值为18解：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次
8、摸到黑球，则第二次摸到白球 因此它的概率P是：（2）设摸得白球的个数为，则=0，1，2的分布列为：012P19（1）证明：根据题意，在中，所以，所以因为是正方形的对角线，所以因为，所以（2）解法1：由（1）知，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，ABCDOyxz则有，设，则，又设面的法向量为，则即 所以，令，则所以因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，得因为，所以解得所以设平面的法向量为，因为，则，即令，则所以设二面角的平面角为，所以所以所以二面角的正切值为 解法2：折叠后在中，在中， 所以是二面角的平面角，即在中，所以如图，过点作的垂线交延长线于点，AB
9、CDOHK因为，且，所以平面 因为平面，所以又，且，所以平面 过点作作，垂足为，连接， 因为，所以平面 因为平面，所以所以为二面角的平面角 在中，则，所以 在中，所以 在中，所以二面角的正切值为20解析：（I）在中，令n=1，可得，即当时，又数列是首项和公差均为1的等差数列于是（II）由（I）得，所以由-得 于是确定的大小关系等价于比较的大小由可猜想当证明如下：21解：（1），；（2）；函数性质结 论奇偶性偶函数单调性递增区间，递减区间，零点，（3）（i）易知直线恒过原点；当直线过点时，此时点到直线的距离为，直线与曲线相切，当时，恒在曲线之上，（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线的距离为，此
10、时点到直线的距离为，直线 与曲线相离；（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线的距离为，此时点到直线的距离为，直线与曲线相交于两个点；（）当直线过点时，此时点到直线的距离为，直线与曲线相交于两个点；点到直线的距离为，直线与曲线相交于两个点；（）当时，直线与曲线有且只有5个交点；（）当时，直线与曲线有且只有1个交点；因为函数的图像关于轴对称， 故综上可知： （1）当时，方程只有1实数根；（2）当时，方程有3个实数根；（3）当时，方程有5个实数根；（4）当或时，方程有7个实数根；（5）当时，方程有9个实数根；（6） 当时，方程有11个实数根 22解：双曲线满足：， 解得 则，于是曲线的焦点，曲线是以为焦点的椭圆，设其方程为，解得，即：，依题意，曲线的焦点为，于是，所以，曲线 由条件可设直线的方程为，由得，由求根公式得：，由得，于是，解得，由图知，直线的倾斜角为
