1、2015-2016学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=y|y=2x，B=x|x22x30，xR，那么AB=（）A（0，3B1，3C（3，+）D（0，1）（3，+）2已知命题p：xR，x22x+40，则p为（）AxR，x22x+40BCxR，x22x+40D3已知向量=（1，0），=（，），则向量与的夹角为（）ABCD4已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，bR），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充
2、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知函数f（x）=sin（x+）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6关于x的方程x2+x+q=0（q0，1）有实根的概率为（）ABCD7如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）An8？Bn8？Cn10？Dn10？8直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D49设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角
3、形，则椭圆的离心率是（）ABCD10一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A2B4C8D1211数列an满足a1=2，则a2016=（）A2B1C2D12已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）A2B3C4D5二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为14已知倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直，则=15已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为16已知直线l1：4x3y+16=0和直线l2：x=1，抛物线y2=4x上一动点P到直
4、线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC中，已知A=45，（）求cosC的值；（）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长18已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2，a5，a14成等比数列（） 求数列an的通项公式；（） 令，求数列bn的前n项和Sn19某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85（） 计算甲班7位学生成绩的方差s2； （）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲
5、班至少有一名学生的概率参考公式：方差，其中20如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P为线段B1D1上一点（） 求证：ACBP；（） 当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离21已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1（） 求函数f（x）的解析式；（） 若关于x的不等式f（x）t0在1，2上有解，求实数t的取值范围；（） 若函数g（x）=f（x）mx的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围22已知椭圆E：过点（0，1），且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭
6、圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由2015-2016学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=y|y=2x，B=x|x22x30，xR，那么AB=（）A（0，3B1，3C（3，+）D（0，1）（3，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】根据指数
7、函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：集合A=y|y=2x=（0，+），B=x|x22x30，xR=（，1）（3，+），AB=（3，+）故选C【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题2已知命题p：xR，x22x+40，则p为（）AxR，x22x+40BCxR，x22x+40D【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：xR，x22x+40，则p为：故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的
8、否定关系，是基础题3已知向量=（1，0），=（，），则向量与的夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，求得向量与的夹角【解答】解：向量=（1，0），=（，），设向量与的夹角为，则由cos=，0，=，故选：D【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题4已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，bR），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判
9、断【专题】函数思想；转化法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数奇偶性的定义和性质进行判断即可【解答】解：若a=0，则f（x）=x2+b为偶函数，当b=1，a0时，f（x）=x2+a1为偶函数，但a=0不成立，即“a=0”是“f（x）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质和定义是解决本题的关键5已知函数f（x）=sin（x+）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin
10、（x+）的图象变换【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数f（x）的解析式再根据y=Asin（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：由函数f（x）=sin（x+）的图象可得： =，解得=2再由五点法作图可得 2+=，解得 =，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，y=Asin（x+）的图象变换规
11、律，属于中档题6关于x的方程x2+x+q=0（q0，1）有实根的概率为（）ABCD【考点】几何概型【专题】计算题；方程思想；运动思想；概率与统计【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是q0，1，而满足条件的事件是使得方程x2+x+q=0有实根的b的值，根据一元二次方程根与系数的关系得到满足条件的q的值，得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是q0，1，而满足条件的事件是使得方程x2+x+q=0有实根的q的值，要使方程x2+x+q=0有实根，=14bq0b，在基本事件包含的范围之内q0，由几何概型公式得到P=，故选：C【点评】古典概型和几何概型是我们学
12、习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到7如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）An8？Bn8？Cn10？Dn10？【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及i的关系最终得出选项【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s=，n=4满足条件，s=，n=6满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s
13、的值为结合选项，判断框中应填入的关于n的判断条件是：n8？故选：B【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题8直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=圆心C到直线x+2y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+
14、y22x4y=0截得的弦长为故选C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题9设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质椭圆的离心率是高考中选择填空题常考
15、的题目应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系10一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A2B4C8D12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】根据三视图得出底面积和棱锥的高，代入体积计算【解答】解：由三视图的数量关系可知俯视图菱形的对角线长分别为4和2，棱锥的底面菱形的面积为S=由主视图可知棱锥的高为h=棱锥的体积V=故选B【点评】本题考查了棱锥的结构特征，三视图，体积计算，属于基础题11数列an满足a1=2，则a2016=（）A2B1C2D【考点】数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】数列
16、an满足a1=2，求出前4项即可得出周期性【解答】解：数列an满足a1=2，a2=1，a3=，a4=2，an+3=an则a2016=a3672=a3=故选：D【点评】本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）A2B3C4D5【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=3f（2x），y=f（x）g（x）
17、=f（x）3+f（2x），由f（x）3+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=3，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x0，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）g（x）的零点个数为2个，故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的
18、关键二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为1【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x2y，得z=1目标函数z=x2y的最大值是1故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法14已知倾斜角为的直线l
19、与直线x+2y3=0垂直，则=【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由直线垂直的性质求出tan=2，由此利用同角三角函数关系式能求出的值【解答】解：倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直，tan=2，=故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用15已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为3【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点，代入求出再化简即可【解答】解
20、：由题意双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（0），因为且C经过点，所以1=，即=，代入方程化简得，双曲线C的实轴长为：3故答案为：3【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键16已知直线l1：4x3y+16=0和直线l2：x=1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为4【考点】点到直线的距离公式【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由抛物线的定义可得：|PF|=d2，可得d1+d2的最小值为点F到直线l1的距离【
21、解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由抛物线的定义可得：|PF|=d2，d1+d2的最小值为点F到直线l1的距离d1+d2的最小值=4，故答案为：4【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC中，已知A=45，（）求cosC的值；（）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】综合题【分析】（I）利用三角函数的平方故选求出角B的正弦；利用三角形的内角和为180将角C用角B表示；利用两角差的余弦公式求出c
22、osC（II）利用三角函数的平方关系求出角C的正弦；利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长【解答】解：（），且B（0，180），cosC=cos=cos=（）由（）可得由正弦定理得，即，解得AB=14在BCD中，BD=7，所以【点评】本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理18已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2，a5，a14成等比数列（） 求数列an的通项公式；（） 令，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（） 利用已知条件求出数列的公差，然
23、后求数列an的通项公式；（） 化简，通过裂项消项法求数列bn的前n项和Sn【解答】（本小题满分12分）解：（）等差数列an的首项a1=1，公差d0，a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，且a2，a5，a14成等比数列，（1+4d）2=（1+d）（1+13d），即d=2，an=1+2（n1）=2n1（），=【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的简单方法的应用，考查计算能力19某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85（） 计算甲班7位学生成绩的方差s2； （）从成绩在90分以上的学生中随机
24、抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率参考公式：方差，其中【考点】极差、方差与标准差；茎叶图【专题】概率与统计【分析】（）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差（）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案【解答】解：（ I
25、）甲班学生的平均分是85，x=5则甲班7位学生成绩的方差为s2=40（ II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E） 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）记“甲班至少有一名学生”为事件M，则，即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为 【点评】本小
26、题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识20如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P为线段B1D1上一点（） 求证：ACBP；（） 当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（）连结BD，证明ACBD，ACBB1，说明AC平面BB1D1D，即可证明ACBP（）求出VPABC，l设三棱锥APBC的高为h，利用VAPBC=VPABC，即可求解三棱锥APBC的高【解答】（本小题满分12分
27、）解：（）证明：连结BD，因为ABCDA1B1C1D1是长方体，且AB=BC=2，所以四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1，因为BD平面BB1D1D，BB1平面BB1D1D，且BDBB1=B，所以AC平面BB1D1D，因为BP平面BB1D1D，所以ACBP（）点P到平面ABC的距离AA1=4，ABC的面积，所以，在RtBB1P中，所以，同理又BC=2，所以PBC的面积设三棱锥APBC的高为h，则因为VAPBC=VPABC，所以，所以，解得，即三棱锥APBC的高为【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线
28、与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用21已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1（） 求函数f（x）的解析式；（） 若关于x的不等式f（x）t0在1，2上有解，求实数t的取值范围；（） 若函数g（x）=f（x）mx的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围【考点】函数的零点与方程根的关系；抽象函数及其应用【专题】计算题；规律型；转化思想；解题方法；函数的性质及应用【分析】（）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）f（x）=2x1，求出a，b，得到函数的解析式（）求出函数f（x）的对称轴，然后求解f
29、max（x），列出关系式即可求解实数t的取值范围为（，5）（）g（x）=x2（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）f（x）=2x1，得2ax+a+b=2x1，故，解得：a=1，b=2，所以f（x）=x22x+2（）f（x）=x22x+2=（x1）2+1，对称轴为x=11，2，又f（1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（1）=5 关于x的不等式f（x）t0在1，2有解，则tf（x）max=5，所以实数t的取值范围为（，5） （）g（x）=x
30、2（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，则满足解得：，所以实数m的取值范围为 【点评】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力22已知椭圆E：过点（0，1），且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由已知得b和，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，
31、b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）所在定直线方程【解答】解：（1）依题意，b=1，又a2=b2+c2，3a2=4c2=4（a2b2）=4a24，即a2=4椭圆E的方程为：；（2）由（1）知，A（2，0），B（2，0），D（0，1），直线AD的方程为y=，由题意，直线BP的方程为y=k（x2），k0且k，由，解得P（），设M（x1，y1），则由，消去y整理得（4k2+1）x216k2x+16k24=0，即，即M（），设Q（x2，0），则由M，D，Q三点共线得：kDM=kDQ，即，则，PQ的斜率m=2k+1=4m，即点N（m，k）在定直线4x2y1=0上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“舍而不求”和整体运算思想方法，属中高档题2016年4月2日
