1、第8章核心考点精准研析考点一平面的基本性质1.下列说法正确的是()A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面2.已知,是平面,a,b,c是直线,=a,=b,=c,若ab=P,则()A.PcB.PcC.ca=D.c=3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EFHG=P,则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是世纪金榜导学号()A.B.C.D.
2、【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相交直线可以确定一个平面.2.选A.如图,因为ab=P,所以Pa,Pb,因为=a,=b,所以P,P,而=c,所以Pc. 3.选B.如图所示,因为EF平面ABC,HG平面ACD,EFHG=P,所以P平面ABC,P平面ACD.又因为平面ABC平面ACD=AC,所以PAC.4.选D.在图中分别连接PS,QR,易证PSQR,所以P,Q,R,S四点共面;在图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,所以P,Q,R,S共面.在图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故
3、四点共面;在图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;证两平面重合.(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.【秒杀绝招】排除法解T4,在图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,可排除A,B,C,直接选D.考点二异面直线所成的角【典例】1.(2018全国卷II)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的
4、正切值为()A.B.C.D.2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解题导思】序号联想解题1画出图形,由ABCD,联想到AE与CD所成角为EAB,解直角三角形.2画出图形,图中没有与AB1,BC1平行的直线,联想到作辅助线.【解析】1.选C.因为CDAB,所以EAB即为异面直线AE与CD所成角,连接BE,在直角三角形ABE中,设AB=a,则BE=a,所以tanEAB=.2.选C.如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所
5、成的角.由题意可知BC1=,AB1=,则MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在MQP中,可知MP=.在PMN中,cosPNM=-,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.【一题多解】把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D(或其补角).由题意可知BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,所以cosBC1
6、D=.求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.如图,可补成一个正方体,所以AC1BD1.所以BA1与AC1所成的角为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形,所以A1BD1=60.即BA1与AC1成60的角.2.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异
7、面直线AC1与BC所成角的正切值为_.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D垂直于圆柱下底面,所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:考点三空间两条直线的位置关系命题精解读考什么:(1)考查异面直线的判断,直线平行、垂直的判断等问题.(2)考查直观想象的核心素养.怎么考:以柱、锥、台、球及组合体为载体,考
8、查直线位置关系的判断.新趋势:以异面直线、平行直线为载体考查点的不共面与共面问题.学霸好方法1.直线位置关系的判断方法:异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.2.交汇问题:与线面、面面平行与垂直相结合命题.两条异面直线的判定【典例】在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号)【解析】图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M面GHN,因此直线GH与MN异面;图
9、中,连接MG,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N三点共面,但H面GMN,因此GH与MN异面,所以图中GH与MN异面.答案:判定空间两条直线是异面直线的方法有哪些?提示:(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.两直线平行或相交的判定【典例】已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:EG与FH相交.世纪金榜导学号【证明】如图,连接AC,BD,则EFAC,HGAC,因此EFHG;同理EHFG,则EFGH为平行四边
10、形.又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与HF相交.解答本题的关键是什么?提示:本题考查空间想象能力,解答本题的关键是构造平行四边形.1.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则()A.acB. a,c是异面直线C.a,c相交D.a,c平行或相交或异面【解析】选D.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c可以平行,可以相交,可以异面.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_.(注:把你认为正确
11、的结论序号都填上)【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为点B1与BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确,故填.答案:1.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列说法正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【解析】选D
12、.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60【解析】选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,ABC为正三角形,所以AEBC,D错误.
