1、专项4 方程思想和分类讨论思想在线段与角的计算中的应用1.2022邯郸永年区期中如图,点C把线段MN分成两部分,其比为MCCN=54,点P是MN的中点,PC=2 cm,则MN的长为()A.30 cm B.36 cm C.40 cm D.48 cm答案1.B 因为MCCN=54,所以设MC=5x cm,则CN=4x cm,所以MN=MC+CN=5x+4x=9x(cm).因为点P是MN的中点,所以PN=12MN=92x cm.因为PC=PN-CN,所以92x-4x=2,解得x=4,所以MN=9x=36 cm.类型1 方程思想2.2022济南期末如图,在正方形ABCD中,E为DC边上一点,沿线段BE
2、对折后,若ABF比EBF大15,则EBC的度数是.答案2.25 由题意,得EBC=FBE,设EBC=x,则ABF=15+x.因为四边形ABCD是正方形,所以ABC=90,所以x+x+15+x=90,解得x=25,所以EBC的度数是25.类型1 方程思想3.已知AOB=30,OD平分AOB,BOC=50,则DOC的度数为()A.35或65B.45C.65D.45或60答案3.A 因为AOB=30,OD平分AOB,所以AOD=BOD=12AOB=15.有以下两种情况:如图1,当OA,OC在OB的同侧时,DOC=BOC-BOD=50-15=35;如图2,当OA,OC在OB的异侧时,DOC=BOC+B
3、OD=50+15=65.综上,DOC的度数为35或65.类型2 分类讨论思想4.2022平顶山期末如图1,直线l上有A,B,C三个点,若满足BC=12AB,则称点C是点A关于点B的“半距点”.如图2,若M,N,P三个点在同一条直线m上,且点P是点M关于点N的“半距点”,MN=6 cm.则MP=cm.答案4.3或9 分两种情况讨论:如图1,当点P在点N左侧时,因为点P是点M关于点N的“半距点”,所以PN=12MN.因为MN=6 cm,所以PN=12MN=3 cm,所以MP=MN-PN=3 cm.如图2,当点P在点N右侧时,因为MN=6 cm,PN=12MN=3 cm,所以MP=MN+PN=9 c
4、m.综上,MP=3 cm或9 cm.类型2 分类讨论思想5.2022北京海淀区期中如图1,将一段长为60 cm的绳子AB拉直铺平后折叠(绳子无弹性,折叠处长度忽略不计),使绳子与自身一部分重叠.若将绳子AB沿点M,N折叠,点A,B分别落在A,B处.(1)如图2,若A,B恰好重合于点O处,则MN=cm;(2)如图3,若点A落在B的左侧,且AB=20 cm,求MN的长度;(3)若AB=n cm,求MN的长度.(用含n的代数式表示)类型2 分类讨论思想5.解:(1)30因为绳子AB沿点M,N折叠,点A,B分别落在A,B处,A,B恰好重合于点O处,所以AM=MO=12AO,ON=BN=12OB,所以M
5、N=MO+ON=12(AO+OB)=12AB=30(cm).(2)因为AB=60 cm,AB=20 cm,所以AA+BB=AB-AB=60-20=40(cm).根据题意得,M,N分别为AA,BB的中点,所以AM=12AA,BN=12BB,所以AM+BN=12AA+12BB=12(AA+BB)=1240=20(cm),所以MN=AB-(AM+BN)=60-20=40(cm).答案(3)因为M,N分别为AA,BB的中点,所以AM=MA=12AA,BN=BN=12BB.当点A落在点B的左侧时,MN=MA+AB+BN=12AA+AB+12BB=12(AA+AB+BB)+12AB=12(AB+AB)=(30+12n)cm;当点A落在点B的右侧时,因为AA+BB=AB+AB=(60+n)cm,所以AM+BN=12AA+12BB=12(AA+BB)=12(60+n)=(30+12n)(cm),所以MN=AB-(AM+BN)=60-(30+12n)=(30-12n)(cm).综上,MN的长度为(30+12n)cm或(30-12n)cm.
