1、一、选择题1(2014四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A. B. C. D.解析：由题意可得，直线OP与平面A1BD所成的角的取值范围是.不妨取AB2.在RtAOA1中，sinAOA1.sin C1OA1sin(2AOA1)sin 2AOA12sin AOA1cos AOA12，又sin1，sin 的取值范围是.答案：B2(2015黄冈模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为()
2、A. B.C. D.解析：取B1C1的中点D，连接AD，A1D，BB1AA1，AA1与平面AB1C1所成的角等于BB1与平面AB1C1所成的角侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，则B1C1A1D，B1C1AA1，B1C1平面AA1D，平面AA1D平面AB1C1，AA1与平面AB1C1所成的角为A1AD，AA13，A1D，tan A1AD，A1AD，BB1与平面AB1C1所成的角为.故选A.答案：A3(2014河南二模)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱
3、C1C上，则的最小值为()A. BC. D解析：建立如图所示的直角坐标系，则D(1，0，2)，B1(0，1，3)，设P(0，0，z)，则(1，0，2z)，(0，1，3z)，00(2z)(3z)，故当z时，取得最小值为.答案：B4(2014仙游县模拟)已知正四棱锥OABCD中，OAAB，则OA与底面ABCD所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：设O在底面ABCD中的射影为O，则O为底面ABCD的中心，OAAB.OAAB，OOAB，OA与底面ABCD所成角的正弦值等于.答案：C5(2014嘉兴一模)如图1，在等腰ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的
4、中点将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE.若AO平面BCDE，则AD与平面ABC所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析：取DE中点H，则OHOB.以O为坐标原点，OH、OB、OA分别为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图在等腰ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点，OH1，DH2，DO，AD2，A(0，0，)，D(1，2，0)，(1，2，)平面ABC的法向量n(1，0，0)，设AD与平面ABC所成角为，sin |cos ，n|.答案：D二、填空题6(2015苏州模拟)已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG2
5、，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，相关各点的坐标为G(0，0，2)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，C(0，0，0)，则(0，0，2)，(4，2，2)，(2，4，2)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，由得平面GEF的一个法向量为n(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离d.答案：7(2015浙江卷)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析：连接ND，取ND的中点O，连接OC，OM，图略.由题可知MOAN，则异面直线AN，C
6、M所成的角即为MO与CM所成的角，即CMO.根据题目条件可得ANCM2，则有MO，OC，由余弦定理可得cosCMO.答案：8(2013北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_解析：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，则CC1EF，又EF平面D1EF，CC1平面D1EF，CC1平面D1EF.直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离过点C1作C1MD1F，易知平面D1EF平面A1B1C1D1.C1M平面D1EF，那么C1M为异面直线D1E与CC1的距离，即点P到直线
7、CC1的距离的最小值在RtD1C1F中，C1MD1FD1C1C1F，得C1M.点P到直线CC1的距离的最小值为.答案：9(2015四川卷)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_解析：由题意得AQ平面ABCD且ABAD，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AQ所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则E(1，0，0)，F(2，1，0)，设M(0，y，2)(0y2)，则cos .令y2t(2t0)，得cos ，故当t2时，cos 取
8、得最大值.答案：三、解答题10(2014长郡模拟)如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN.(1)证明ACNB；(2)若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值解析：(1)由已知l2MN，l2l1，MNl1M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AMMBMN，可知ANNB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影，ACNB.(2)易知RtCANRtCBN，ACBC，又已知ACB60，因此ABC为正三角形CMAB，而MNAB，CNAB，NCNANB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，NBH为NB与平面A
9、BC所成的角在RtNHB中，cos NBH.11(2015安徽卷)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C；(2)求二面角EA1DB1的余弦值解析：(1)证明：由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D，又A1D平面A1DE，B1C平面A1DE，于是B1C平面A1DE.又B1C平面B1CD1，平面A1DE平面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方
10、形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为(0.5，0.5，1)设平面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该平面上向量(0.5，0.5，0)，(0，1，1)，由n1，n1得r1，s1，t1应满足的方程组为因为(1，1，1)为其一组解，所以可取n1(1，1，1)设平面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该平面上向量(1，
11、0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1)所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.12(2014陕西卷)如图1，四面体ABCD及其三视图(如图2所示)，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH的夹角的正弦值图1图2解析：(1)证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD底面BDC.AD平面EFGH，平面ADB平面EFGHEF，AD平面ABD，ADEF.同理，有ADGH.EFGH.BC平面EFGH，平面DBC平面EFGHF
12、G，BC平面BDC，BCFG.同理，有BCEH.FGEH.四边形EFGH为平行四边形又AD平面BDC，BC平面BDC，ADBC，则EFEH.四边形EFGH是矩形(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DBDC2，DA1.又E为AB中点，F，G分别为DB，DC中点，A(0，0，1)，B(2，0，0)，F(1，0，0)，E，G(0，1，0)所以(2，0，1)，(1，1，0)设平面EFGH的一个法向量为n(x，y，z)由得取y1，得x1.n(1，1，0)则sin |cos ，n|.13(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB
13、16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解析：(1)交线围成的正方形EHGF如图(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，(10，0，0)，(0，6，8)设n(x
14、，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0，4，3)又(10，4，8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.14(2015四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值解析：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)连接BD，设O为BD的中点因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OMCD，且OMCD，HNCD，且HNCD.所以OMHN，OMHN.所以MNHO是平行四边形，从而M
15、NOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(3)(方法1)连接AC，过M作MPAC于P.在正方体ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.过P作PKEG于K，连接KM，所以EG平面PKM，从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角设AD2，则CM1，PK2.在RtCMP中，PMCMsin 45；在RtPKM中，KM.所以cos PKM，即二面角AEGM的余弦值为.(方法2)如图，以D为坐标原点，分别以，方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.设AD2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以(2，2，0)，(1，
16、0，2)设平面EGM的一个法向量为n1(x，y，z)，由得取x2，得n1(2，2，1)在正方体ABCDEFGH中，DO平面AEGC，可取平面AEG的一个法向量为n2(1，1，0)，所以cosn1，n2，故二面角AEGM的余弦值为.15(2015天津卷)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
17、A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，2，1)(1)依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，.由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2，2)，(2，0，0)设n1(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0，1，1)设n2(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则又(0，1，2)，得不妨设z1，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中，则E(0，2)，从而(1，2，1)又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为，解得2.所以，线段A1E的长为2.
