1、3.2基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值课后训练巩固提升一、A组1.若x0,y0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64解析:由题意xy=2x+8yxy=2y+8x22y8x=8xy,xy8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.答案:D2.已知x,y,z为正实数,则xy+yzx2+y2+z2的最大值为()A.235B.22C.45D.23解析:x2+12y22xy,z2+12y22yz,x2+y2+z22(xy+yz),xy+yzx2+y2+z222,当且仅当x=z=22y时等号成立,故选B.答案:B3.函数y=xx+
2、1的最大值为()A.25B.12C.22D.1解析:令t=x(t0),则x=t2,y=xx+1=tt2+1.当t=0时,y=0;当t0时,y=1t2+1t=1t+1t.t+1t2,02)在x=a处取最小值,则a=()A.1+2B.1+3C.3D.4解析:y=x+1x-2=x-2+1x-2+2.x2,x-20,y=x-2+1x-2+22(x-2)1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时等号成立.又由题知,y在x=a处取最小值,a=3.答案:C6.某校要建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为240元/m2和160元/m2,那么水池的最低总造价为元.
3、解析:设池底的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元,根据题意,有2xy=8,则xy=4,于是z=2404+160(22x+22y)=960+640(x+y)960+1280xy=960+12802=3520.答案:3 5207.若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.解:因为x+3y=5xy,所以1y+3x=5,所以3x+4y=151y+3x(3x+4y)=153xy+12yx+13515236+135=5,当且仅当3xy=12yx,即x=2y时取等号.由x+3y=5xy,x=2y,得x=1,y=12,所以当x=1,y=12时,3x+4y取得最小值5.二、B组1.若正数a,b满
4、足ab=a+b+3,则ab的取值范围是()A.6,+)B.9,+)C.(0,9D.(0,6解析:a,b是正数,ab=a+b+32ab+3(当a=b时取“=”),即ab-2ab-30,ab3,或ab-1(舍去),ab9.答案:B2.已知点A(m,n)在一次函数y=12-12x的图象上,其中mn0,则2m+1n的最小值为()A.42B.8C.9D.12解析:因为点A(m,n)在函数y=12-12x的图象上,所以m+2n=1,所以2m+1n=(m+2n)(2m+1n)=2+mn+4nm+24+2mn4nm=8,当且仅当m=2n=12时取等号.答案:B3.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z
5、=0,则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为()A.0B.98C.2D.94解析:zxy=x2-3xy+4y2xy=xy+4yx-32xy4yx-3=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+22.答案:C4.设a0,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.解析:因为a0,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.由不等式x+y2x2+y22可知,a+1+b+32a+1+b+32=322,所以a+1+b+3的最大值为32,当且仅当a=72,b=32时取等号.答案:325.已知两个正数x,y满足
6、x+y=4,则使不等式1x+4ym恒成立的实数m的取值范围是.解析:x+y=4,x4+y4=1,1x+4y=1x+4yx4+y4=14+y4x+xy+1=54+y4x+xy54+2y4xxy=54+212=94,当且仅当y4x=xy,x+y=4,即x=43,y=83时,取“=”,因此要使1x+4ym恒成立,只需m94即可,故m的取值范围是-,94.答案:-,946.已知a0,b0,且2a+1bm2a+b恒成立,求m的最大值.解:因为2a+1bm2a+b,所以m2a+1b(2a+b)恒成立,所以m(2a+1b)(2a+b)min.而2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+24=9,当且仅当
7、a=b时等号成立,所以m9,即m的最大值为9.7.已知正数x,y满足1x+1y=1,则4xx-1+9yy-1的最小值为.解析:4xx-1+9yy-1=41-1x+91-1y=41y+91x=9x+4y=(9x+4y)1x+1y=13+4yx+9xy25,当且仅当x=53,y=52时取等号.答案:258.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m0)(单位:万元)满足x=3-km+1(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万
8、元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2020年厂家销售该产品获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2020年的促销费用为多少万元时,获得的利润最大?解:(1)由题意,可知当m=0时,x=1,1=3-k,解得k=2,x=3-2m+1,又每件产品的销售价格为1.58+16xx元,y=x1.58+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83-2m+1-m=-16m+1+(m+1)+29(m0).(2)m0,16m+1+(m+1)216=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时等号成立,y-8+29=21,ymax=21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时,获得的利润最大,最大利润为21万元.
