1、湖北省孝感高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选做题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶2（5分）命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x0203（5分）已知命题：p：对任意xR，总有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4（5分）两条平行直线3x+4y12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（
2、）ABC7D5（5分）若经过椭圆+=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1是椭圆的左焦点，则AF1B的周长为（）A10B20C30D406（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A=0.4x+2.3B=2x2.4C=2x+9.5D=0.3x+4.47（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A7B42C210D8408（5分）已知点M与二个定点O（0，0）和A（3，0）的距离的比为，则点M的轨迹方程为（）Ax2+y2+2x5=0Bx2+y2+2x3=0Cx2+y22x5=0
3、Dx2+y22x3=09（5分）下列命题中，正确的个数为（）“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件；“sin=sin”是“=”的充分不必要条件；“x=4”是“x+=0”的必要不充分条件；“ab0”是“a0”的既不充分又不必要条件A0B1C2D310（5分）由不等式确定的平面区域记为Q1，不等式组确定的平面区域记为Q2，在Q1中随机取一点，则该点恰好在Q2内的概率为（）ABCD二、填空题（本小题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，
4、已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生12（5分）抛掷一枚均匀的硬币4次，出现反面的次数多于正面次数的概率为13（5分）过点M（2，0）作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A、B两点，则|AB|=14（5分）已知圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心在直线xy+1=0上，则此圆的标准方程是15（5分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=三、解答题（本大题共6小题，共75分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（
5、12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：关于x的方程x2x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围17（12分）已知三点M（0，1）、A（1，2）和B（2，1）（1）求三角形MAB的面积（2）经过点M作直线l，若直线l与线段AB总有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围18（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）若该企业已经生产一批此产品1000
6、0件，根据直方图给出的数据做出估计，问这一批产品中测量结果在195215之间的产品共有多少件？19（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）圆C：（x1）2+（y2）2=25（1）求证：直线l恒过定点，并求出此定点；（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4，求实数m的值20（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求1+2的值21（14分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，
7、F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值湖北省孝感高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选做题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶考点：互斥事件与对立事件 专题：概率与统计分析：直接根据对立事件的定义，可得事件“至
8、少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论解答：解：根据对立事件的定义可得，事件“至少有一次中靶”的对立事件是：两次都不中靶，故选D点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题2（5分）命题 “xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x020考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xR，|x|+x20”的否定x0R，|x0|+x020，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）已知命题：p：对任意xR，总
9、有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论解答：解：根据绝对值的性质可知，对任意xR，总有|x|0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=30，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则pq，为真命题，故选：A点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础4（5分）两条平行直线3x+4y12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（）ABC7D考点：两条平行直线间的距离 专题：计算题；直线与圆分析：先
10、将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论解答：解：由题意，a=6，直线3x+4y12=0可化为6x+8y24=0两条平行直线之间的距离为=故选D点评：本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）若经过椭圆+=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1是椭圆的左焦点，则AF1B的周长为（）A10B20C30D40考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出AF1B的周长解答：解：F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，|AF1|+|AF2
11、|=10，|BF1|+|BF2|=10，AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=10+10=20故选B点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化6（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A=0.4x+2.3B=2x2.4C=2x+9.5D=0.3x+4.4考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程解答：解：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数=3
12、，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键7（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A7B42C210D840考点：循环结构 专题：计算题；算法和程序框图分析：算法的功能是求S=76k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=76k的值，当m=7，n=3时，mn+1=73+1=5，跳出循环的k值为4，输出S=765=210故选：C点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键8（5分）已知点M与二个定点O（0，0）
13、和A（3，0）的距离的比为，则点M的轨迹方程为（）Ax2+y2+2x5=0Bx2+y2+2x3=0Cx2+y22x5=0Dx2+y22x3=0考点：轨迹方程 专题：计算题；直线与圆分析：设出M的坐标，直接由M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，列式整理得方程解答：解：设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，得整理得：x2+y2+2x3=0点M的轨迹方程是x2+y2+2x3=0故选B点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中档题9（5分）下列命题中，正确的个数为（）“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件；“s
14、in=sin”是“=”的充分不必要条件；“x=4”是“x+=0”的必要不充分条件；“ab0”是“a0”的既不充分又不必要条件A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；简易逻辑分析：由圆心到直线的距离等于半径等价于这条直线是圆的切线判断命题成立；sin=sin时=不一定成立判断充分性，=时sin=sin成立判断必要性；x=4时，x+0判断充分性，x+=0时，x4判断必要性；ab0时，a0成立判断充分性，a0时，ab0不成立判断必要性解答：解：对于，当圆心到直线的距离等于半径时，这条直线是圆的切线，充分性成立，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于等于圆的半径，必要性成立，是充要
15、条件，命题正确；对于，当sin=sin时，=不一定成立，充分性不成立，当=时，sin=sin，必要性成立，是必要不充分条件，命题错误；对于，x=4时，x+=4+0，充分性不成立，x+=0时，x=1，必要性不成立，是既不充分也不必要条件，命题错误；对于，当ab0时，a0，充分性成立，当a0时，ab0不一定成立，必要性不成立，是充分不必要条件，命题错误综上，命题正确的是故选：B点评：本题通过命题真假的判断，考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了直线与圆的应用问题，三角函数的应用问题，解无理方程的问题等知识，是综合题目10（5分）由不等式确定的平面区域记为Q1，不等式组确定的平面区域记为Q2，在Q
16、1中随机取一点，则该点恰好在Q2内的概率为（）ABCD考点：几何概型；简单线性规划 专题：概率与统计分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论解答：解：平面区域Q1为OAB，其中A（3，0）B（0，3），0AB的面积S=，平面区域Q2为五边形OCDEF，其中C（2，0），F（0，1），由，解得，即E（1，2），由，解得，即D（，），则ADC的面积为，BEF的面积为，则五边形OCDEF的面积S=，则在Q1中随机取一点，则该点恰好在Q2内的概率为，故选：D点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，作出不等式组对应的平面区域结合几何概型的概率公式是解决本题的关
17、键二、填空题（本小题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60，故答案为：60点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用
18、了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题12（5分）抛掷一枚均匀的硬币4次，出现反面的次数多于正面次数的概率为考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；互斥事件的概率加法公式 专题：计算题分析：根据题意，分析可得正面出现的次数比反面出现的次数多包括两种情况，正面出现4次，反面出现0次；正面出现3次，反面出现1次；并且这两种情况是互斥的，先计算每种情况的概率，再由互斥事件的概率加法公式计算可得答案解答：解：由题意知正面出现的次数比反面出现的次数多包括两种情况：正面出现4次，反面出现0次；正面出现3次，反面出现1次；且这两种情况是互斥的；正面出现的次数比反面出现的次数多
19、的概率是：=；故答案为点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，再按照规律解题13（5分）过点M（2，0）作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A、B两点，则|AB|=考点：抛物线的应用 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|AB|解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为y=x2，代入抛物线方程得x28x+4=0x1+x2=8，x1x2=4，|AB|=故答案为：点评：本题考查直线与抛物线相交的弦长的求法，是基础题，解题时要注意直
20、线方程、弦长公式等知识点的合理运用14（5分）已知圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心在直线xy+1=0上，则此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25考点：圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程解答：解：圆心在直线xy+1=0上，设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，2）在圆上，可得=，解之得a=3圆心坐标为C（3，2），半径r=5因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25故答案为：（x+3）2+（y+2）2=2
21、5点评：本题给出圆C满足的条件，求圆的方程着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题15（5分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=2考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线（a0，b0）的渐近线方程与抛物线y2=2px（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值解答：解：双曲线（a0，b0），双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A
22、，B两点的纵坐标分别是y=，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=，又AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线=，得p=2故答案为：2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错三、解答题（本大题共6小题，共75分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：关于x的方程x2x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围考点：命题的真假判断
23、与应用 专题：计算题；综合题分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立0a4；关于x的方程x2x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有所以实数a的取值范围为点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证是中档题17（12分）已知三点M（0，1）、A（1，2）和B（2，1）（1）求三角形MAB的面积（2）经过点M作直线
24、l，若直线l与线段AB总有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围考点：三角形的面积公式；直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：（1）判断三角形的形状，然后求出距离，即可求三角形MAB的面积（2）直接求出经过点MA，MB的斜率，即可求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围解答：解：（1）三点M（0，1）、A（1，2）和B（2，1）由题意可知直线MA的斜率为：1，直线MB的斜率为：1可得MAMB，MA=，MB=2，SMAB=2（2）由题意可知直线MA的斜率为：1，直线MB的斜率为：1直线l的斜率k1，1，倾斜角的范围是：0，45135，180）点评：本题考查三角形的面积的求法，直线的斜率以及直线的倾斜角
25、的求法，考查计算能力18（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）若该企业已经生产一批此产品10000件，根据直方图给出的数据做出估计，问这一批产品中测量结果在195215之间的产品共有多少件？考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（1）运用样本平均数和样本方差公式，即可求出；（2）求出这一批产品中测量结果在195215之间的产品的概率，即可求得结论解答：解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为
26、=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200抽取产品的质量指标值的样本方差为s2=（30）20.02+（20）20.09+（10）20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150（6分）（2）根据直方图给出的数据做出估计，这一批产品中测量结果在195215之间的产品的概率为0.33+0.24=0.57，故该企业已经生产的这一批产品中测量结果在195215之间的产品共有100000.57=5700件（12分）点评：本题考查频率分布直方图，考查学生的计算能力，比较基础19（12分）已知直线l：
27、（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）圆C：（x1）2+（y2）2=25（1）求证：直线l恒过定点，并求出此定点；（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4，求实数m的值考点：直线和圆的方程的应用 专题：计算题；直线与圆分析：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）整理，解方程组，即可得出结论；（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为，则圆心到直线的距离为1，即可求实数m的值解答：解：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）可整理为：故直线l恒过定点（3，1）（6分）（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为，则圆心到直线的距离为1即（12分）点评：本题
28、考查直线恒过定点问题，考查点到直线间的距离公式，考查运算能力，属于中档题20（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求1+2的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设椭圆C的方程为，由已知条件推导出b=1，由此能求出椭圆C的标准方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），设直线l的方程为y=k（x2），代入方程，得（1+5k2）x220k2x+20k25=0，由此利用韦达定理结
29、合已知条件能求出1+2的值解答：（）解：设椭圆C的方程为 （ab0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1），（2分）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1，由e=，解得a2=5，椭圆C的标准方程为（5分）（）证明：椭圆C的方程为，椭圆C的右焦点F（2，0），（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2），代入方程，并整理，得（1+5k2）x220k2x+20k25=0，（7分），（8分）又，而，即（x10，y1y0）=1（2x1，y1），（x20，y2y0）=2（2x2，y2），（10分）1+2=10（12分）点
30、评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用21（14分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示
31、，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值解答：解：（）由题意可知，且e1e2=，且|F2F4|=1，且解得：椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（）由（）可得F1（1，0）直线AB不垂直于y轴，设AB的方程为x=ny1，联立，得（n2+2）y22ny1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，则=M在直线AB上，直线PQ的方程为，联立，得解得，代入 得由2n20，得nP，Q的坐标分别为，则P，Q到AB的距离分别为：，P，Q在直线A，B的两端，则四边形APBQ的面积S=|AB|当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2点评：本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题
