1、专题检测(五)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.“a=0”是“直线l1:(a+1)x+a2y-3=0与直线l2:2x+ay-2a-1=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件2.(2015广西模拟)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为()(A)3x+4y+5=0(B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0(D)-3x+4y+5=03.(2015云南模拟)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|2,则k的取值范围是()(A)-,0
2、 (B)-,(C)-,(D)-,0)4.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()(A)(B)(C)(D)25.圆心在抛物线y2=2x(y0)上,并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()(A)x2+y2-x-2y-=0(B)x2+y2+x-2y+1=0(C)x2+y2-x-2y+1=0(D)x2+y2-x-2y+=06.(2015山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()(A)-或-(B)-或-(C)-或-(D)-或-7.(2015广东卷)已知
3、双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=18.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为3,则线段AB的长度为()(A)6(B)8(C)10(D)129.(2015江西模拟)已知P(,)在双曲线-=1上,其左、右焦点分别为F1,F2,三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M,则的值为()(A)-1(B)+1(C)-1(D)+110.已知直线l:y=k(x-2)(k0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是()(
4、A)(B)(C)(D)211.(2015河南模拟)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=90 .过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()(A)(B)(C)1(D)12.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=+,=(,R),则双曲线的离心率e等于()(A)(B)(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆
5、的标准方程为.14.(2015青岛一模)若过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|为.15.椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.16.已知双曲线C:-=1的焦点为F(-c,0),F(c,0),c0,过点F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y2=4cx交于点P,若点P在以FF为直径的圆上,则该双曲线的离心率为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)已知圆C:x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l:mx+y+1
6、=0对称.(1)求实数m的值;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,=-3(O为坐标原点),求圆C的方程.18.(本小题满分14分)(2015吉林模拟)圆M和圆P:x2+y2-2x-10=0相内切,且过定点Q(-,0).(1)求动圆圆心M的轨迹方程;(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点(0,-),求直线l的方程.19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆:+=1(ab0)过点(2,0),焦距为2.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为k的直线l过点C(-1,0)且交椭圆于A,B两点,试探究椭圆上是否存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形?
7、若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)(2015福建卷)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.21.(本小题满分14分)已知椭圆C:+=1(ab0)与双曲线+=1(1v0)的准线为x=-,圆与抛物线的准线及x轴都相切,由抛物线的定义知圆与x轴相切于焦点(,0),所以圆心的坐标为(,1),半径为1,则方程为(x-)2+(y-1)2=1,即x2+y2-x-2y+=0.6.D由题
8、意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.因为反射光线所在直线与圆相切,所以=1,解得k=-或k=-.7.C由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.8.B依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=23=6,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8,故选B.9.A因为P(,)在双曲线上,所以-=1,解得a=1,三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M,|PF1|-|PF2|=2,所以|F1M|-|F2M|=2,|F1M|+|F2M|=4,解得|F1M|=3
9、,|F2M|=1,所以|OM|=1,即M(1,0),所以=(-1,)(1,0)=-1.10.D直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.则yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-,yAyB=-16,所以-2=-16,即yB=2.又k0,故k=2.11.A设准线为l,过A作AQl,BPl,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,由勾股定理,得|AB|2=a2+b2=(a+b)2-2ab.又ab
10、()2,所以(a+b)2-2ab(a+b)2-,得到|AB|(a+b),所以=,即的最大值为,故选A.12.D双曲线的渐近线方程为y=x,设焦点F(c,0),点A纵坐标大于零,则A(c,),B(c,-),P(c,),因为=+,所以(c,)=(+)c,(-),所以+=1,-=,解得=,=.又由=,得=,所以=,所以e=.13.解析:对于直线x-y+1=0,令x=0,得到y=1,即圆心C(0,1),因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以圆心C到直线的距离d=r,即r=d=2,则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=8.答案:x2+(y-1)2=814.解析:如图所示,因为PA,PB分别为圆O:x2+
11、y2=1的切线,所以OAAP.因为P(1,),O(0,0),所以|OP|=2.又因为|OA|=1,所以在RtAPO中,cosAOP=.所以AOP=60 ,所以|AB|=2|AO|sinAOP=.答案:15.解析:直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以F1MF2=90,所以F1MF2M,在RtF1MF2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以e=-1.答案:-116.解析:如图,设抛物线y2=4cx的准线为l,作PQl于Q,由于PFPF,且tan PFF=,|FF|=2c,所以|PF|=2a,|PF|=2b.由抛物线的定义,可知|PQ|
12、=|PF|=2a,且PFQ与FFP相似,所以=,即b2=ac,解得e=.答案:17.解:(1)圆C的方程为(x+1)2+y2=1-a,圆C(-1,0).因为圆C上存在两点关于直线l:mx+y+1=0对称,所以直线l:mx+y+1=0过圆心C.所以-m+1=0,解得m=1.(2)联立消去y,得2x2+4x+a+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),=16-8(a+1)0,所以a2=|PQ|,所以动圆圆心M的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,即其方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得10x2+6mx+3m2
13、-3=0,所以x1+x2=-m,则AB的中点为(-m,m),AB的垂直平分线方程为y-m=-(x+m),将(0,-)代入得m=,所以直线l的方程为y=x+.19.解:(1)由已知得a=2,c=,因为a2=b2+c2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)不存在.理由如下:依题意得,直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),假设椭圆上存在点P(x0,y0)使得四边形OAPB为平行四边形,则由得(1+4k2)x2+8k2x+4(k2-1)=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=.于是即点P的坐标为(,).又点P在椭圆上,所以
14、+()2=1,整理得4k2+1=0,此方程无解.故椭圆上不存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形.20.解:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由已知|AF|=3,得2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B(,-).又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线
15、GA相切的圆必与直线GB相切.法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B(,-).又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.21.解:(1)因为1v4,所以双曲线的焦点在x轴上.设F(c,0),则c2=4-v+v-1=3.由椭圆C与
16、双曲线共焦点,知a2-b2=3.设直线l的方程为x=ty+a,代入y2=2x并整理,得y2-2ty-2a=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a.所以=x1x2+y1y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2=(t2+1)(-2a)+2at2+a2=a2-2a=0.解得a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在.SOMN=|OM|ON|sin MON,当MON=90 时,SMON取最大值.此时O到l1的距离d=,所以m2+n2=2.又因为+n2=1,解得m2=,n2=.故存在点R的坐标为(,)或(,-)或(-,)或(-,-),此时OMN的面积为.
