1、第七节正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第68页基础梳理1正弦定理2R，其中R是ABC的外接圆半径正弦定理的常用变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.(2)sin A，sin B，sin C.(3)abcsin Asin Bsin C.2余弦定理a2b2c22bccos A，cos A；b2a2c22accos B，cos B；c2a2b22abcos C，cos C3勾股定理在ABC中，C90a2b2c24三角形的面积公式SABCahabhbchcabsin Cbcsin Aacsin B1射影定理：bcos Cccos Ba，bcos Aacos Bc，ac
2、os Cccos Ab.2三个角A、B、C与诱导公式的“消角”关系sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sin cos ，cos sin .3特殊的面积公式(1)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)，(2)S，P(abc)，(3)S2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆半径)四基自测1(基础点：正弦定理)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4B2C. D答案：B2(基础点：正、余弦定理)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案：C3(基础点：正弦定理)ABC的内角A，B
3、，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_解析：bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.答案：4(基础点：余弦定理与面积)若ABC中，A，b2c2a28，则ABC的面积为_答案：授课提示：对应学生用书第68页考点一正、余弦定理的简单应用挖掘1正弦定理及其应用/自主练透例1(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cos A，则b等于()A.B.C. D解析因为cos A，所以sin A ，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin Bcos 45s
4、in 45.由正弦定理，得bsin 45.答案C(2)已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B2A，则的取值范围是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析因为B2A，所以sin Bsin 2A2sin Acos A，由正弦定理得b2acos A，所以，所以tan A.因为ABC是锐角三角形，所以解得A，所以tan A1，所以tan A.即的取值范围是(，)故选D.答案D挖掘2余弦定理及其应用/互动探究例2(1)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D解析在ABC中，易知B30，由余弦定理b2a2c22accos
5、 304.b2.答案A(2)在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC边的长为_解析由SABC得3ACsin 120，所以AC5，因此BC2AB2AC22ABACcos 12092523549，解得BC7.答案7挖掘3正、余弦定理混合应用/互动探究例3已知ABC满足sin2Asin Asin Bsin2Bsin2C，则角C的大小是_解析因为sin2Asin Asin Bsin2Bsin2C，所以a2abb2c2，即a2b2c2ab，故cos C(0C)，所以C.答案破题技法1.求解三角形的一般方法方法解读题型正弦定理法直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边(2)已
6、知两边及一边对角余弦定理法直接用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角(2)已知三边2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab ab解的个数12110考点二有关三角形的周长、面积及正、余弦定理的综合应用挖掘1已知边角混合关系解三角形/自主练透例1(2020河南省最后一次模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin Absin Bbsin Acsin C.(1)求C；(2)若a2，b2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长解析(1)因为asin Absin Bbsin Acsin C，
7、所以由正弦定理可得a2b2abc2.由余弦定理得cos C，又0C，所以C.(2)由(1)知C，根据余弦定理可得c2a2b22abcos C22(2)2222()20，所以c2.由正弦定理，得，解得sin B，从而cos B.设BC的中垂线交BC于点E，因为在RtBDE中，cos B，所以BD，因为点D在线段BC的中垂线上，所以CDBD.挖掘2有关三角形的面积计算/ 互动探究例2(1)(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析由余弦定理得b2a2c22accosB又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABC
8、acsin B426.答案6(2)(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.求B；若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解析由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsinB由ABC180，可得sincos，故cos2sin cos .因为cos0，所以sin，所以B60.由题设及知ABC的面积SABCa.由知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.破题技法1.求三角形面
9、积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用挖掘3有关三角形的周长及最值计算/ 互动探究例3(1)在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析因
10、为，所以AB2sin C，BC2sin A，因此AB2BC2sin C4sin A2sin4sin A5sin Acos A2sin(A)，因为(0，2)，A(0，)，所以AB2BC的最大值为2.答案2 (2)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_解析由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B又S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A， ，2，即2.答案(2，)(3)在ABC中，cos C是方程2x23x20的一根求角C；当ab10时，求ABC周长的最小值解析由2x23x20得
11、x12，x2，又cos C是方程2x23x20的一个根，所以cos C，因此C.由C和余弦定理可得c2a2b22ab()(ab)2ab，所以c2100a(10a)(a5)275，当a5时，c最小且c5，此时abc105.所以，ABC的周长的最小值为105.破题技法三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键考点三判断三角形的形状例(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析法一：
12、因为bcos Cccos Bbca，所以asin Aa，即sin A1，故A，因此ABC是直角三角形法二：因为bcos Cccos Basin A，所以sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin Asin2A，故sin A1，即A，因此ABC是直角三角形法三：由射影定理可得bcos Cccos Ba，所以aasin A，所以sin A1，A，为直角三角形答案B(2)在ABC中，若2sin Acos Bsin C，那么ABC的形状为_解析法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin A cos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.所以ABC为等腰三角形法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.所以ABC为等腰三角形答案等腰三角形破题技法判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论.边角互化法边化角：用角的三角函数表示边等式两边是边的齐次形式角化边：将表达式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a2b2c2ab
