1、2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）（2015春上海校级期中）若（0，），且角的终边与角5的终边相同，则=考点：终边相同的角专题：三角函数的求值分析：写出与终边相同的角的集合，列出方程求解即可解答：解：与终边相同的角的集合为|=+2k，kZ角的终边与角5的终边相同，5=+2k，（0，），=，可得k=1，=故答案为：点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型2（4分）（2015春上海校级期中）化简：=1考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简求
2、解即可解答：解：=1故答案为：1点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力3（4分）（2015春上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是22考点：弧长公式专题：计算题；三角函数的求值分析：设圆心角为，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可解答：解：设圆心角为，弧长为l，由题意得4+l=4，解得l=44圆心角=22故答案为：22点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题4（4分）（2015春上海校级期中）已知cos（）cos+sin（）sin=，且是第三象限的角，则sin=考点：两角和与差的余弦函数专题
3、：三角函数的求值分析：由两角差的余弦公式可得cos，进而由同角三角函数的基本关系可得解答：解：cos（）cos+sin（）sin=，cos（）=，即cos=，是第三象限的角，sin=，故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题5（4分）（2015春上海校级期中）已知ABC中，a=7，b=8，A=60，则边c=3或5考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理得出a2=b2+c22bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值解答：解：在ABC，a=7，b=8，A=6
4、0，根据余弦定理a2=b2+c22bccosA得：72=82+c216ccos60，整理得：c28c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5故答案为：3或5点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（4分）（2015春上海校级期中）若，则sin2=考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用专题：计算题；三角函数的求值分析：根据已知等式可求tan，由万能公式即可求值解答：解：，整理可得：1+tan=33tan+22tan，可得：tan=，sin2=故答案为：点评：本题主要考查了万能公式
5、和三角函数求值，属于基本知识的考查7（4分）（2013黄埔区一模）已知，则tan（2）等于1考点：两角和与差的正切函数专题：计算题分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan的值，然后把所求式子中的角2变为（），利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值解答：解：由=2tan=1，得到tan=，又，则tan（2）=tan（）=1故答案为：1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题8（4分）（2015春上海校级期中）若2sin+3cos=2，则
6、sin+cos=或1考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题；三角函数的求值分析：将已知等式两边平方整理可得（12sin+5cos）cos=0，从而解得cos=0，或者12sin+5cos=0，分别解得sin，cos的值，即可求和得解解答：解：2sin+3cos=2，两边平方有：4sin2+12sincos+9cos2=4，（12sin+5cos）cos=0，所以有：cos=0，代入原式，得 sin=1，或者 12sin+5cos=0，解得：sin=cos，代入原式，有：sin=，cos=所以可得：sin+cos=1，或者 sin+cos=故答案为：或1点评：本题主要考查了同角三角函数基本
7、关系的运用，属于基本知识的考查9（4分）（2015春上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为考点：解三角形专题：计算题；解三角形分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：411sin=2sin，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：22cos，所以所求八边形的面积为：2sin2cos+2=2sin（）+2，所以该八边形的面积的最大值为故答案为：点评：本题考查了三角面积公式的
8、应用和余弦定理的应用正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容10（4分）（2015春上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意，R都有f（sin）0，f（2+cos）0，若f（sin）的最大值为10，则f（x）=x25x+4考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由f（sin）0知，x1，1时，f（x）0，同样可得x1，3时，f（x）0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在1，1上单调递减，从而便可得到f（1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）解答：解：由已知条件知，x1，1时，f（x）0，x1，3时，f（x）0；f（1）=0，f（x）在1
9、，1上单调递减；f（sin）的最大值为10；f（1）=10；解得，；f（x）=x25x+4故答案为：x25x+4点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11（4分）（2015嘉兴二模）在ABC中，sinAsinB是AB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：由正弦定理知 ，由sinAsinB，知ab，所以AB，反之亦然，故可得结论解答：解：若sinAsinB成立，由正弦定理 =2R，所以ab
10、，所以AB反之，若AB成立，所以ab，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinAsinB，所以sinAsinB是AB的充要条件故选C点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形属于基础题12（4分）（2015春上海校级期中）设集合A=x|x=+，kz，B=x|x=k+，kz，C=x|x=k+，kz，则A（BC）=（）ABCD考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可解答：解：A=x|x=+，kZ，B=x|x=k+，kZ，C=x|x=k+，kZ，A（BC）=x|x=2k，kZ，故选：C点评：此题考查了交、并、补集的
11、混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键13（4分）（2015春上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）Asin（sin）sin（tan）sinBsin（sin）sinsin（tan）Csin（tan）sinsin（sin）Dsinsin（sin）sin（tan）考点：三角函数线专题：三角函数的求值分析：由，得到0sintan1，利用三角函数的单调性解答解答：解：因为，所以0sintan1，所以sin（sin）sinsin（tan）；故选：B点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性14（4分）（2015春上海校级期中）已知ABC中，AB=2，则ABC的面积的最
12、大值为 （）A2B2C2D考点：余弦定理；正弦定理专题：综合题；解三角形分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+，再利用三角形的面积公式可求得SABC=asinB，继而可求SABC2=（a212）2+8，从而可得ABC面积的最大值解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB22aABcosB，即a2+4acosB4=0，cosB=，cos2B=+，sin2B=1cos2B=SABC=ABBCsinB=2asinB=asinB，S2ABC=a2sin2B=a2（）=+a21=（a424a2）1=（a212）2+8，当a2=12，即
13、a=2时，2、2、2能组成三角形，S2max=8，Smax=2故选：A点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2ABC=（a212）2+8是关键，也是难点，属于难题三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15（10分）（2015春上海校级期中）在ABC中，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值解答：解：（1）在ABC中，tanB+tanC=tanA（
14、tanC1），tanB=tanAtanC（tanA+tanC）=tanAtanCtan（A+C）（1tanAtanC），tanB=tanAtanC+tanB（1tanAtanC），tanBtanB（1tanAtanC）=tanAtanC，tanBtanAtanC=tanAtanC，tanB=，B=，（2）sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c22accosB，代入数据可得，解得，点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题16（10分）（2015春上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x），xR（1）求的值；（2
15、）设0，f（3+2）=，求cos（+）的值考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象专题：三角函数的求值分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sin和cos的值，进而由两角和的余弦公式可得解答：解：（1）由题意可得=2sin（）=2sin=；（2）0，f（3+2）=，f（3+）=2sin（+）=2sin=，sin=，f（3+2）=2sin（+）=2cos=，cos=，cos=，sin=，cos（+）=coscossinsin=点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题17（12分）（2015春上海校级期中）在平面直角坐标系xOy
16、中，钝角+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合若+的终边与单位元圆交于点（1）求t的值；（2）求cos和sin的值；（3）设，求f（1）+f（2）+f（2015）的值考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cos和sin的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值解答：解：（1）钝角+的终边与单位元圆交于点，根据三角函数的定义，cos（+）=，t=sin（+）=；（2
17、）由sin（+）=、cos（+）=得，（sin+cos）=，（cossin）=，由解得，cos=，sin=；（3）f（x）=cos（+），函数f（x）的周期T=4，f（1）=cos（+）=sin=，f（2）=cos（+）=cos=，f（3）=cos（+）=sin=，f（4）=cos（2+）=cos=，f（5）=cos（+）=sin，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；f（1）+f（2）+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=+=点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题18（12分）（2015春上海校级期中）
18、已知A=|2cos23cos+10，R，B=|2sin1，R，（1）求集合AB；（2）若对任意xAB，都有恒成立，求m的取值范围考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用专题：集合分析：（1）分别求出关于A、B中的的范围，从而求出AB，（2）问题转化为对任意xAB，都有m（cosx）2恒成立，求出即可解答：解（1）A=|2cos23cos+10，R=|（2cos1）（cos1）0，R=|cos1，R=|2k2k+，R，B=|2sin1，R=|sin0=|2k2k+，AB=|2k2k+，kZ，（2）由cos2x4sin（+）cos（+）+m0cos2x2sin（+x）+m0cos2x2cosx
19、+m02cos2x12cosx+m0m2（cosx）2若对任意xAB，都有恒成立，即对任意xAB，都有m2（cosx）2恒成立，x（2k，2k+，cosx，1），02（cosx）2，m点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19（10分）（2015春上海校级期中）已知ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式专题：计算题分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的
20、值代入整理后因式分解，即可求出的值解答：解：由题设条件知B=60，A+C=120，将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力20（10分）（2015春上海校级期中）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断ABC的形状，并加以证明；（2）当a=2，B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：（
21、1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，设sinx+cosx=t，设u=2t+1，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解解答：解：（1）ABC是直角三角形证明：由已知得：=，sinAsinB+sinBsin（CB）=cosBcos（CB），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，在ABC中，cosC=cos（A+B），sinAsinB=cos（A+B），cosAcosB=0，cosA=0或 cosB=0，ABC是直角三角形（2）当a=2，B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2=，sinC=cosx解得：b=2sinx，c=2cosx，设sinx+cosx=t，设u=2t+1，=，当时，点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题
