1、第二章 函数的概念与基本初等函数 第八节 函数的图象 1.理解点的坐标与函数图象的关系;2.会利用平移、对称、伸缩变换,由一个函数图象得到另一个函数的图象;3.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.知 识梳 理 诊 断 1函数图象的作图方法方法通过在坐标系中画出函数图象上的一些点,用平滑曲线连接这些点画出函数图象的方法确定函数的定义域,化简函数的解析式讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性等)描点法步骤列表描点连线,得出函数图象左yf(x)的图象左移a(a0)个单位长度_的图象 右yf(x)的图象右移a(a0)个单位长度_的图象 上yf(x)的图象上移
2、h(h0)个单位长度_的图象 变换法平移变换下yf(x)的图象下移h(h0)个单位长度_的图象yf(xa)yf(xa)yf(x)hyf(x)hx轴yf(x)的图象关于x轴对称_的图象 y轴yf(x)的图象关于y轴对称_的图象直线 yxyf(x)的图象关于yx对称yf(x)反函数的图象 变换法对称变换坐标 原点yf(x)的图象关于坐标原点对称_的图象yf(x)yf(x)yf(x)x轴yf(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变_图象变换法翻折变换y轴yf(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉,右侧不变_的图象y|f(x)|yf(|x|)x轴yf(x)的图象各点横坐标变为
3、原来的1a(a0)倍纵坐标不变_的图象变换法伸缩变换y轴yf(x)的图象各点纵坐标变为原来的a(a0)倍横坐标不变_的图象 yf(ax)yaf(x)2.函数图象的识别(1)确定函数的定义域、值域;(2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等);(3)确定函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、所过定点等);(4)综合分析得出函数图象的大致形状3函数图象的应用(1)研究函数性质:在已知函数图象后,函数图象体现了函数的全部性质,可以根据函数图象得出函数性质(2)数形结合解题:在与函数有关的问题中,画出函数图象,数形结合寻找解题思路 1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)当x(0,)
4、时,函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x),则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(4)若函数yf(x)满足f(x1)f(x1),则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016合肥抽测)已知函数yloga(xc)(a,c为常数,其中a0,a1)的图象如图,则下列结论成立的是()Aa1,c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1解析 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以
5、0a0,即logac0,所以0cm,x24x2,xm 的图象与直线yx恰有三个公共点,则实数m的取值范围是()A(,1 B1,2)C1,2 D2,)解析 解法一:特值法,令m2,排除C,D,令m0,排除A,故选B.解法二:令x24x2x,解得x1或x2,所以三个解必须为1,2和2,所以有1m2.故选B.答案 B6直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点,则a的取值范围是_解析 yx2xa,x0,x2xa,x0,作出图象,如图所示 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a14,要使y1与其有四个交点,只需a141a,1a54.答案 1a0部分关于y轴的对称部分,即得y(12)|x|的图象,如图实线
6、部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y|log2(x1)|的图象,如图(3)y 2x1x1 21x1,故函数图象可由y 1x 的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图(4)yx22x1,x0,x22x1,x0且函数为偶函数,先用描点法作出0,)上的图象,再根据对称性作出(,0)上的图象,即得函数图象如图 函数图象的画法,方法适用条件直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象.转化法含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.图象变换法若
7、函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.考点二 函数图象的识别共研型角度1:已知解析式识别图象(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()A BC D解析 特殊值验证法,取x2,则y24e282.71820.6(0,1),排除A,B;由0 x2时,y2x2ex,则y4xex,由函数零点的判定可知,y4xex在(0,2)内存在零点,即函数y2x2ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.答案 D角度2:借助动点识别图象(2015课标全国
8、卷)如图,长方形ABCD的边AB2,BC1,O是AB的中点点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOPx.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则yf(x)的图象大致为 ()解析 解法一:当点P在线段BC上时,如图,x0,4 PBOBtanxtanx,PAPB2AB2tan2x4,所以f(x)PBPAtanxtan2x4.显然函数f(x)在0,4 内单调递增,故f(0)f(x)f(4),即2f(x)1 5.取线段CD的中点E,当点P在线段CE上时,x(4,2)如图,过点P作PHAB,垂足为H.则OH 1tanx,BH1 1tanx.所以PBPH2BH212(1 1tanx)2,PAP
9、H2AH212(1 1tanx)2.所以f(x)PBPA1(1 1tanx)21(1 1tanx)2.所以f(x)在(4,2)上单调递减 当点P在点E处,f(x)PBPA2 21 5.当点P在线段DE上时,x(2,34)由图形的对称性可知,此时函数图象与当点P在线段CE上时的图象关于x2对称 当点P在线段DA上时,x34,由图形的对称性可知,此时的函数图象与当点P在线段BC上时的图象关于x2 对称 综上选B.解法二:当x0,4 时,f(x)tanx4tanx,图象不会是直线段,从而排除A,C.当x4,34 时,f4 f34 1 5,f2 2 2.2 21 5,f2 f4 f34,从而排除D,故
10、选B.答案 B 函数图象识别的要点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性,(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象1角度1(2016吉林实验中学二模)函数y 2xlnx 的图象大致为()解析 解法一:当0 x1时,lnx0,所以y0,得lnx1,即xe,此时函数单调递增;由f(x)0,得lnx1且x1,即0 x1或1xe,此时函数单调递减故选D.解法二:利用特殊点法:当x 1e 时,y 2e 0,排除B,C;当x1e,x2e2时,y12e,y2e2.易知y1y2,排除A.故选D.答
11、案 D2.角度2如图,在边长为2的正三角形ABC中,点P从点A出发,沿ABCA的方向前进,然后再回到点A,在此过程中,记点P走过的路程为x,点P到点A,B,C的距离之和为f(x),则函数yf(x)的大致图象为()解析 解法一:当点P在AB上时,0 x2,PC4x222xcos60 x22x4,点P到点A,B,C的距离之和为f(x)2x22x42(x1)23,因为函数f(x)在0,1上单调递减,在1,2上单调递增,且函数图象不是由直线段组成的,排除选项B,C,D,故选A.解法二:当x0时,f(x)4.当点P由A到B的过程中CP的长度先减小后增大,且PAPB2,CP0,b0,c0Ba0,c0Ca0
12、,c0Da0,b0,c0,c0,b0.令f(x)0,得xba,结合图象知ba0,a0.故选C.(2)f(x)x1,x2,3x,x2.如图,作出yf(x)的图象,其中A(2,1),则kOA12.要使方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,12k1.答案(1)C(2)B 拓展探究(1)若本例(2)中的“方程f(x)g(x)有两个不相等的实根”改为“方程f(x)g(x)有一个实根”结果如何?(2)若本例(2)中的“g(x)kx”改为“g(x)loga(x1)”,求实数a的取值范围解析(1)由图可知,当k 12 或k1或k1时,函数f(x)与g
13、(x)的图象有一个交点,故k12或k1或k1.(2)作出yf(x)与yg(x)的图象如图 由loga31,得a3.由对数函数的图象变化可知,当函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点时,有1a3.答案(1)k12或k1或k1(2)1a0,若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()A(,1)B(,1C(0,1)D1,)解析 画出函数f(x)的图象,当x0时,可理解为将f(x)2x1(1x0)的图象向右平移(周期为1),而当x0时,f(x)2x1,则直线yxa与函数f(x)的图象有且只有两个不同交点,由题意可知选A.答案 A2(2016济南模拟)已知函数f(x)x2
14、ex 12(x0)与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A(,1e)B(,e)C(1e,e)D(e,1e)解析 由题意知,设x0(,0),使得f(x0)g(x0),即x20ex012(x0)2ln(x0a),ex0ln(x0a)120.令y1ex 12,y2ln(xa),要使得函数图象的交点A在y轴左侧,如图,则lna12lne12,a0,排除A.选B.答案 B方法2:性质检验法 (2016沧州七校联考)函数f(x)ln(x 1x)的图象是()切入点 观察图象,x1时,图象单调性不同,可考虑利用函数f(x)的性质验证排除 解析 因为f(x)ln(x1x),
15、所以x1x(x1)(x1)x0,解得1x1,所以函数的定义域为(1,0)(1,),可排除A,D.因为函数ux1x在(1,0)和(1,)上单调递增,函数ylnu在(0,)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,函数f(x)在(1,0)和(1,)上单调递增,选B.答案 B 已知函数解析式,判断其图象的关键:由函数解析式明确函数的性质观察图象、分析判断得出结论.函数的性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等出发.若能熟记基本初等函数的性质,则此类题就不攻自破.2函数f(x)xsinx的图象大致是()解析 因为f(x)xsin(x)xsinxf(x),所以函数f(x)为偶函数,所以其图象关于y轴
16、对称,故排除B,C;因为f()sin0,排除D,故选A.答案 A方法3:图象变换法 已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数,且在0,)上是增函数,则函数f(x)的图象可能是()切入点 根据f(x1)的性质推f(x)的图象,可利用图象平移变换验证排除 解析 函数f(x1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图象;因为函数f(x1)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,排除A,C,D,选B.答案 B 有关函数yf(x)与函数yaf(bxc)h的图象问题的判断,熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题.3已知函数f(x)3x,x1,log13x,x1,则函数yf(1x)的大致图象是()解析 解法一:先画出函数f(x)3x,x1,log13x,x1的草图,令函数f(x)的图象关于y轴对称,得函数f(x)的图象,再把所得的函数f(x)的图象,向右平移1个单位,得到函数yf(1x)的图象,故选D.解法二:由已知函数f(x)的解析式,得yf(1x)31x,x0,log13(1x),x0,故该函数过点(0,3),排除A;过点(1,1),排除B;在(,0)上单调递增,排除C.选D.答案 D请做:课后跟踪训练(十一)