1、第二章 函数的概念与基本初等函数 第八节 函数的图象 1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.知 识梳 理 诊 断 1函数图象的作图方法方法通过在坐标系中画出函数图象上的一些点，用平滑曲线连接这些点画出函数图象的方法确定函数的定义域，化简函数的解析式讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性等)描点法步骤列表描点连线，得出函数图象左yf(x)的图象左移a(a0)个单位长度_的图象 右yf(x)的图象右移a(a0)个单位长度_的图象 上yf(x)的图象上移
2、h(h0)个单位长度_的图象 变换法平移变换下yf(x)的图象下移h(h0)个单位长度_的图象yf(xa)yf(xa)yf(x)hyf(x)hx轴yf(x)的图象关于x轴对称_的图象 y轴yf(x)的图象关于y轴对称_的图象直线 yxyf(x)的图象关于yx对称yf(x)反函数的图象 变换法对称变换坐标 原点yf(x)的图象关于坐标原点对称_的图象yf(x)yf(x)yf(x)x轴yf(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变_图象变换法翻折变换y轴yf(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变_的图象y|f(x)|yf(|x|)x轴yf(x)的图象各点横坐标变为
3、原来的1a(a0)倍纵坐标不变_的图象变换法伸缩变换y轴yf(x)的图象各点纵坐标变为原来的a(a0)倍横坐标不变_的图象 yf(ax)yaf(x)2.函数图象的识别(1)确定函数的定义域、值域；(2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)；(3)确定函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、所过定点等)；(4)综合分析得出函数图象的大致形状3函数图象的应用(1)研究函数性质：在已知函数图象后，函数图象体现了函数的全部性质，可以根据函数图象得出函数性质(2)数形结合解题：在与函数有关的问题中，画出函数图象，数形结合寻找解题思路 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x(0，)
4、时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(4)若函数yf(x)满足f(x1)f(x1)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016合肥抽测)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以
5、0a0，即logac0，所以0cm，x24x2，xm 的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是()A(，1 B1，2)C1，2 D2，)解析 解法一：特值法，令m2，排除C，D，令m0，排除A，故选B.解法二：令x24x2x，解得x1或x2，所以三个解必须为1，2和2，所以有1m2.故选B.答案 B6直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_解析 yx2xa，x0，x2xa，x0，作出图象，如图所示 此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a14，要使y1与其有四个交点，只需a141a，1a54.答案 1a0部分关于y轴的对称部分，即得y(12)|x|的图象，如图实线
6、部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图(3)y 2x1x1 21x1，故函数图象可由y 1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)yx22x1，x0，x22x1，x0且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，即得函数图象如图 函数图象的画法,方法适用条件直接法当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象.转化法含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.图象变换法若
7、函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.考点二 函数图象的识别共研型角度1：已知解析式识别图象(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()A BC D解析 特殊值验证法，取x2，则y24e282.71820.6(0，1)，排除A，B；由0 x2时，y2x2ex，则y4xex，由函数零点的判定可知，y4xex在(0，2)内存在零点，即函数y2x2ex在(0，2)内有极值点，排除C，故选D.答案 D角度2：借助动点识别图象(2015课标全国
8、卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为 ()解析 解法一：当点P在线段BC上时，如图，x0，4 PBOBtanxtanx，PAPB2AB2tan2x4，所以f(x)PBPAtanxtan2x4.显然函数f(x)在0，4 内单调递增，故f(0)f(x)f(4)，即2f(x)1 5.取线段CD的中点E，当点P在线段CE上时，x(4，2)如图，过点P作PHAB，垂足为H.则OH 1tanx，BH1 1tanx.所以PBPH2BH212（1 1tanx）2，PAP
9、H2AH212（1 1tanx）2.所以f(x)PBPA1（1 1tanx）21（1 1tanx）2.所以f(x)在(4，2)上单调递减 当点P在点E处，f(x)PBPA2 21 5.当点P在线段DE上时，x(2，34)由图形的对称性可知，此时函数图象与当点P在线段CE上时的图象关于x2对称 当点P在线段DA上时，x34，由图形的对称性可知，此时的函数图象与当点P在线段BC上时的图象关于x2 对称 综上选B.解法二：当x0，4 时，f(x)tanx4tanx，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x4，34 时，f4 f34 1 5，f2 2 2.2 21 5，f2 f4 f34，从而排除D，故
10、选B.答案 B 函数图象识别的要点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性,(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象1角度1(2016吉林实验中学二模)函数y 2xlnx 的图象大致为()解析 解法一：当0 x1时，lnx0，所以y0，得lnx1，即xe，此时函数单调递增；由f(x)0，得lnx1且x1，即0 x1或1xe，此时函数单调递减故选D.解法二：利用特殊点法：当x 1e 时，y 2e 0，排除B，C；当x1e，x2e2时，y12e，y2e2.易知y1y2，排除A.故选D.答
11、案 D2.角度2如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P从点A出发，沿ABCA的方向前进，然后再回到点A，在此过程中，记点P走过的路程为x，点P到点A，B，C的距离之和为f(x)，则函数yf(x)的大致图象为()解析 解法一：当点P在AB上时，0 x2，PC4x222xcos60 x22x4，点P到点A，B，C的距离之和为f(x)2x22x42（x1）23，因为函数f(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，且函数图象不是由直线段组成的，排除选项B，C，D，故选A.解法二：当x0时，f(x)4.当点P由A到B的过程中CP的长度先减小后增大，且PAPB2，CP0，b0，c0Ba0，c0Ca0
12、，c0Da0，b0，c0，c0，b0.令f(x)0，得xba，结合图象知ba0，a0.故选C.(2)f(x)x1，x2，3x，x2.如图，作出yf(x)的图象，其中A(2，1)，则kOA12.要使方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，12k1.答案(1)C(2)B 拓展探究(1)若本例(2)中的“方程f(x)g(x)有两个不相等的实根”改为“方程f(x)g(x)有一个实根”结果如何？(2)若本例(2)中的“g(x)kx”改为“g(x)loga(x1)”，求实数a的取值范围解析(1)由图可知，当k 12 或k1或k1时，函数f(x)与g
13、(x)的图象有一个交点，故k12或k1或k1.(2)作出yf(x)与yg(x)的图象如图 由loga31，得a3.由对数函数的图象变化可知，当函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点时，有1a3.答案(1)k12或k1或k1(2)1a0，若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，1)B(，1C(0，1)D1，)解析 画出函数f(x)的图象，当x0时，可理解为将f(x)2x1(1x0)的图象向右平移(周期为1)，而当x0时，f(x)2x1，则直线yxa与函数f(x)的图象有且只有两个不同交点，由题意可知选A.答案 A2(2016济南模拟)已知函数f(x)x2
14、ex 12(x0)与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(，1e)B(，e)C(1e，e)D(e，1e)解析 由题意知，设x0(，0)，使得f(x0)g(x0)，即x20ex012(x0)2ln(x0a)，ex0ln(x0a)120.令y1ex 12，y2ln(xa)，要使得函数图象的交点A在y轴左侧，如图，则lna12lne12，a0，排除A.选B.答案 B方法2：性质检验法 (2016沧州七校联考)函数f(x)ln(x 1x)的图象是()切入点 观察图象，x1时，图象单调性不同，可考虑利用函数f(x)的性质验证排除 解析 因为f(x)ln(x1x)，
15、所以x1x（x1）（x1）x0，解得1x1，所以函数的定义域为(1，0)(1，)，可排除A，D.因为函数ux1x在(1，0)和(1，)上单调递增，函数ylnu在(0，)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(1，0)和(1，)上单调递增，选B.答案 B 已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的性质观察图象、分析判断得出结论.函数的性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等出发.若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破.2函数f(x)xsinx的图象大致是()解析 因为f(x)xsin(x)xsinxf(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴
16、对称，故排除B，C；因为f()sin0，排除D，故选A.答案 A方法3：图象变换法 已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数，且在0，)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是()切入点 根据f(x1)的性质推f(x)的图象，可利用图象平移变换验证排除 解析 函数f(x1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象；因为函数f(x1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，排除A，C，D，选B.答案 B 有关函数yf（x）与函数yaf（bxc）h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换（左加右减，上加下减）、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题.3已知函数f(x)3x，x1，log13x，x1，则函数yf(1x)的大致图象是()解析 解法一：先画出函数f(x)3x，x1，log13x，x1的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(x)的图象，再把所得的函数f(x)的图象，向右平移1个单位，得到函数yf(1x)的图象，故选D.解法二：由已知函数f(x)的解析式，得yf(1x)31x，x0，log13（1x），x0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(，0)上单调递增，排除C.选D.答案 D请做：课后跟踪训练（十一）