1、核心素养测评十七导数与函数零点的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=x3+x2+x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)20,所以f(x)在R上单调递增,因为f(0)=10,f(-3)=-20,a-160,当a=16时,f(x)的图像与x轴有2个交点;当a16时,f(x)的图像与x轴只有1个交点.所以f(x)的零点个数为1或2.方法二:f(x)=x3-12x+a的零点个数方程x3-12x=-a的解的个数g(x)=x3-12x与h(x)=-a的交点个数.画出g(x)=x3-12x与h(x)=-a
2、的图像.由g(x)=3x2-12=0,得x=2,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)g(x)+0-0+g(x)16-16所以g(x)的图像如图所示:因为a16,所以y=-a-16.由图可知直线y=-a与y=x3-12x的图像有1个或2个交点.3.若函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为 ()A.B.C.D.【解析】选D.当x0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x)=x(3x-2),当0x,g(x)时,g(x)0,g(x)min=g= -.当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(
3、x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为4.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,则a的值为世纪金榜导学号()A.4B.4ln 2-3C.2D.5ln 2-4【解析】选D.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,可得ea=在(0,+)上只有一个解.令g(x)=,可得g(x)=-x,在(0,+)有2个极值点,x=1和x=4;x(0,1)时函数是减函数,x(1,4)时,函数是增函数,x(4,+)时函数是减函数,g(0)=0,所以函数g(x)的最大值为g(4)=,函数f(x)=ex+a-x3+2x2在
4、(0,+)上只有一个零点,可得ea=,所以a=5ln 2-4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是_.【解析】令f(x)=x3-3x,要使x3-3x=k有三个不等的实根,则f(x)=x3-3x与y=k有3个交点.又f(x)=3x2-3,由f(x)=0得x=1.故f(x)在(-,-1和1,+)上递增,在(-1,1)上递减,所以x=-1时,f(x)取极大值2;x=1时f(x)取极小值-2.根据单调性情况画出y=x3-3x的大致图像(图略),可得-2k0,h(x)单调递增;当x(-3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(
5、2)=-,数形结合可得a的取值范围是.答案:7.已知函数f(x)=x3+mx+,g(x)=-ln x.mina,b表示a,b中的最小值,若函数h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)=3x2+m,因为g(1)=0,所以要使h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,需满足f(1)0,f0,m-,-m0,所以m=-1,要使方程ln x-x-mx=0在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=-1有唯一实数解,令g(x)=-1,(x0),所以g(x)=,由g(x)0,得0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e
6、2上是减函数.g(1)=-1,g(e)= -1,g(e2)=-1,故-1m0且c-2.【解析】(1)因为f(x)=x-(a-1)ex.所以xa-1时,f(x)0,函数f(x)在(a-1,+)上单调递增,当 xa-1时,f(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增,又h(1)=e-30,所以存在x0(1,2),使h(x)=0,故当x(0,x0)时,g(x)0,所以函数g(x)存在唯一最小值x0,满足=x0+2,所以g(x0)=x0+=x0+1(2,3),因为a=g(x)=x+有解,所以ag(x0)2,所以a2.10.(2020龙岩模拟)已知函数f(x)=(x-1)ln x,g(x)=x-l
7、n x-.世纪金榜导学号(1)求证:函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)图像的上方.(2)当m0时,令h(x)=mf(x)+g(x)的两个零点x1,x2(x1x2).求证:x2-x10).则p(x)=ln x+1-1=ln x,令p(x)=0,得x=1.所以x(0,1)时p(x)0,所以p(x)在(0,1)为减函数,在(1,+)为增函数,所以p(x)p(1)=0-1+=0,即f(x)g(x). 故函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)图像的上方.(2)由h(x)=mf(x)+g(x)=m(x-1)ln x+x-ln x-有两个零点,当m0时h(x)=m+1-.则h(x)在(0,+)为增函数,且h(1)=0,则当x(0,1)时h(x)0,h(x)为增函数,所以h(x)min=h(1)=1-0,h(e)=m(e-1)+e-1-0.所以h(x)在和(1,e)上各有一个零点x1,x2(x1x2),故x2-x1e-.- 9 -
