1、1.3 集合的基本运算1.3.2 补集及综合应用教学目的:(1)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(2)能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。课 型:新授课教学重点:集合的补集的概念; 教学难点:集合的补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”;教学过程:一、 引入课题我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合是否也可以“相加”呢?二、 新课教学1.全集(1)概念:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(2)记法:通常记作.思考1:在集合运算问题中,全集一定是实数集吗?提示:全
2、集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的所有的元素,所以全集因问题的不同而异2.补集思考2:怎样理解补集?提示:(1)补集是相对于全集而言的,一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围(2)补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算在给定全集U的情况下,求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的3.基础自测已知集合或,则( )A B C D解析:或,故选B2(2019贵州遵义市高一期末测试)已知集合,集合,则 ( )A B C D解析:,3(2019浙江,1)已知全集,集合,则( )A B C D解析:,故
3、选A三、 题型探究题型一 补集的基本运算例1 (1)已知全集为,集合, ,则集合_.(2)已知全集,集合,则_.分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集,再由补集的定义求出集合,也可借助Venn图求解(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解解析:(1),又,(2)将全集和集合分别表示在数轴上,如图所示由补集的定义可知或归纳提升求集合的补集的方法1定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解2Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集3数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题题型二 交集、并集、补集的综合运算例2 已知全集,集合,求,分析:对于
4、无限集,可以利用数轴,分别表示出全集及集合、,先求出及,再求解解析:如图,由图可得或如图,由图可得或如图,由图可得,或,归纳提升 求集合交、并、补运算的方法题型三 与补集相关的参数值的求解例3 已知集合或,若,求实数的取值范围分析:由于集合包含两个不等式,若直接利用交集不为空集求解,则所分情况较多,因此考虑从交集为空集的角度入手解析: 因为或,我们不妨先考虑当时的取值范围,在数轴上表示集合,如图所示由,得,故或.即时,的取值范围为或,故时,的取值范围为或.归纳提升当从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想其解题步骤为:(1)否定已知条件,考虑反面问题;(2)求解反面问题对应的
5、参数范围;(3)取反面问题对应的参数范围的补集四、 学科素养“正难则反”思想的应用“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时,我们可以从其反面入手解决已知全集,求子集,若直接求困难,可运用“正难则反”策略先求,再由求例5 已知,若,求实数的取值集合分析:要求,可先求时,的取值集合,再求出该集合在实数集中的补集即可解析:若,则,集合有以下三种情况:当时,即,或;当是单元素集时,或.若,则;若,;当时,是方程的两根,.综上可得,时,的取值集合为或或的实数的取值集合为且.归纳提升补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路,今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时,改用逆向思维,可能“柳暗花明”从这个意义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能,这是转化思想的一种体现