1、2020-2021学年上海市黄浦区光明中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1复数z1+i的共轭复数是 2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BC的距离为 3复数z23i2021对应的点在复平面内位于第 象限43的平方根是 5若z8+8i，则|z| 6底面边长为a的正四棱锥体积与棱长为a的正方体体积相等，则正四棱锥的侧棱与底面所成角大小为 7若zC且|z+3+4i|2，则|z|的取值范围为 8若一圆柱的侧面积为6，则经过圆柱的轴的截面积为 9地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的球面距离为 10在直三棱柱AB
2、CA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是 11如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，则四面体CA1BC1的体积为 12如图，AB是底面圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1，BC，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为 二、选择题13以下命题中，正确的是（）A若a，bR，复数a+bi中，实部为a，虚部为biB若a，bR，当a+bi是虚数时，则a0且b0C若a，bR，当a0时，复数a+bi为纯虚数D若a，bR，当b0时，复数a+bi为实数14“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A
3、充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）A相交B平行C垂直D异面16在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD三、解答题17已知，试求实数x，y的值18如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知ACB90，AA，BCAC1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小19设m，nR，关于x的方程x2+mx+n0的两个根分别是和（1）当1+i时，求与m、
4、n的值；（2）当m2，n4时，求|+|的值20如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？21如图，在直角梯形PBCD中，PBDC，DCBC，PBBC2CD2，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设PAB（1）当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）当为多少时，三棱锥PABD的体积为？（3）剪去梯形中的PAD，留下长方形纸片ABCD，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面，问
5、E点取何处时，使折起后两个端点B、D间的距离最短参考答案一、填空题1复数z1+i的共轭复数是1i解：由共轭复数的定义可得，复数z1+i的共轭复数是1i故答案为：1i2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BC的距离为1解：如图所示，几何体是正方体，所以CC1是点C1到直线BC的距离距离为1故答案为：13复数z23i2021对应的点在复平面内位于第三象限解：z23i202123i，对应的点（2，3）位于第三象限故答案为：三43的平方根是解：设（a+bi）23，其中a，bR化为a2b2+2abi3，解得a0，b3的平方根为：i故答案为：5若z8+8i，则|z|8解：因为z8+
6、8i，则|z|8故答案为：86底面边长为a的正四棱锥体积与棱长为a的正方体体积相等，则正四棱锥的侧棱与底面所成角大小为解：设正四棱锥的高为h，则Vha2a3，h3a，设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则tan3，正四棱锥的侧棱与底面所成角为arctan3故答案为：arctan37若zC且|z+3+4i|2，则|z|的取值范围为3，7解：|z+3+4i|2的几何意义为复平面内动点Z到定点A（3，4）的距离小于等于2的点的集合，如图所示：|OA|，|z|min523，|z|max5+27|z|的取值范围为3，7故答案为：3，78若一圆柱的侧面积为6，则经过圆柱的轴的截面积为6解：设圆柱的底面半径为r
7、，高为h，则2h6，所以rh3，所以经过圆柱的轴的截面积为：2rh6故答案为：69地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的球面距离为解：地球表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30），B的纬圆半径是，经度差是90，所以ABR，球心角是，则A、B两地的球面距离是故答案为：10在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2），C1（0，0，2），
8、（1，1，2），（1，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角为，则cos异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是故答案为：11如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，则四面体CA1BC1的体积为解：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，而，又三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，则四面体CA1BC1的体积为故答案为：12如图，AB是底面圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1，BC，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为解：如图，PO底面OCB，则POOB，POOC，由POOB1，得PB，由POOC，得PC，又BC，PBC为等边三角形，则PBC60，又
9、PBO45，沿PB翻折平面PBC，使平面PBC与平面PAB重合，则OBC105，CE+OE的最小值OC，在OBC中，由余弦定理可得：故答案为：二、选择题13以下命题中，正确的是（）A若a，bR，复数a+bi中，实部为a，虚部为biB若a，bR，当a+bi是虚数时，则a0且b0C若a，bR，当a0时，复数a+bi为纯虚数D若a，bR，当b0时，复数a+bi为实数解：复数a+bi中，实部为a，虚部为b，A错误；a+bi是虚数时，则b0，B错误；当a0，b0时，复数a+bi为纯虚数，C错误；b0时，复数a+bi为实数，D正确故选：D14“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A充分非必要
10、条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解：由“两条直线没有公共点“得“两条直线为异面直线或两直线平行“，不是充分条件，由“两条直线为异面直线“得“两条直线没有公共点”，是必要条件，故选：B15已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）A相交B平行C垂直D异面解：当直线l与平面平行时，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l平面时，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，直线l与平面相交时，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l垂直故选：C16在下列四个正方体中，A、B为正
11、方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD解：对于选项B，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于ABNQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A三、解答题17已知，试求实数x，y的值解：，1+i，解得x1，y1118如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知ACB90，AA，BCAC1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小解：（1）直三棱柱内接于高为的圆柱中，ACB
12、90，AA，BCAC1，O为AB的中点圆柱的半径rAB，圆柱的全面积S+3圆柱的体积为V（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，），C（ 0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），（1，0，），（0，0，），（1，1，0），设平面ABBA的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设直线AC与平面ABBA所成的角为，则sin，直线AC与平面ABBA所成的角的大小为19设m，nR，关于x的方程x2+mx+n0的两个根分别是和（1）当1+i时，求与m、n的值；（2）当m2，n4时，求|+|的值解：（1）由题意得1+i是关于x的方程x2
13、+mx+n0的一个根，（1+i）2+m（1+i）+n0，整理得：m+n+（m+2）i0，m，nR，解得：，故关于x的方程为x22x+20，根据根与系数的关系得：+2，故22（1+i）1i，综上，1i，m2，n2；（2）当m2，n4时，方程为x2+2x+40，解得：x1i，不妨设1i，1+i，则|+|1i|+|1+i|+4，综上：|+|420如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？解：（1）该“浮球
14、”的圆柱筒直径d6cm，半球的直径也是6cm，可得半径R3cm，两个半球的体积之和为cm3而cm3该“浮球”的体积是：VV球+V圆柱36+1854169.6cm3（2）根据题意，上下两个半球的表面积是cm2而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧2Rh23212cm21个“浮球”的表面积为m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2每平方米需要涂胶100克，总共需要胶的质量为：100121200（克）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200克21如图，在直角梯形PBCD中，PBDC，DCBC，PBBC2CD2，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设PAB（1）当为直角时，求
15、异面直线PC与BD所成角的大小；（2）当为多少时，三棱锥PABD的体积为？（3）剪去梯形中的PAD，留下长方形纸片ABCD，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面，问E点取何处时，使折起后两个端点B、D间的距离最短解：（1）取PA中点N，连接AC交BD于O，连接ON、NB，由题意知四边形ABCD为矩形，所以AOOC，所以ONPC，因为AB1，BC2，所以AC，又因为PA1，所以PC，于是ON，OBOA，NB，所以cosBON，于是BONarccos，所以当为直角时，异面直线PC与BD所成角的大小为arccos（2）因为PABD的高为PAsinsin，所以三棱锥PABD的体积为，所以sin，于是或，所以当为或时，三棱锥PABD的体积为（3）过B作BMAE于M，连接BM、MD、BD，因为平面BAE平面ABCD，所以BM平面ABCD，设BAE，则AM1coscos，BMBMsin，由余弦定理得MD2，所以BD，当时，即BE1时，BD最小，故当BE1时，沿AE折起后B、D间的距离最短
