1、三角函数一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。(2)在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。(3)终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个
2、集合，这个集合可记为。集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为。2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周等分，其中份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。(2)弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角。规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。(3)角度制与弧度制的互化：，； 。3、特殊角的三角函数值4、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：，；轴正半轴第一象限角平分线轴负半轴第二象限角平分线轴第三象限角平分线轴正半轴第四象限角平分线轴负半轴
3、第一、三象限角平分线轴第二、四象限角平分线坐标轴象限角平分线5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：，扇形面积公式：，是圆心角且为弧度制，是扇形半径。(二)任意角的三角函数1、任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边上一点(除了原点)的坐标为，它与原点的距离为，那么：(1)半径等于单位长的圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点分别为，而与轴的交点分别为，。由三角函数的定义可知，点的坐标为，即。其中，。这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点(或)，则(或)。(2)正弦；余弦；正切；余切；正割；余割
4、。(3)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。具有方向的线段叫做有向线段。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。(4)三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点。我们就分别称有向线段，为正弦线、余弦线、正切线。(5)各象限的符号： 一全正二正弦三正切-四余弦2、几个重要结论(1) (2)(3)若，则。证明：在单位圆中，当时，则，则，则。3、同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：；(2)商数关系：(，)。(3)几个常用关系式：，三式之间
5、可以互相表示。推导：设，则：；。4、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限：即公式中除以外的角是的奇数倍则变，为角的相应的余名三角函数；是的偶数倍则不变，为角的相应的同名三角函数；等号后面的符号是把看成锐角时等号左边的三角函数值的符号。(1) ()(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (三) 三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质()函数定义域值域时时时时无最大值无最小值周期性周期为周期为周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上在上在上在上在内对称性对称中心：对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：推导：与的性质()函数定义域值域奇偶性偶函数偶函数周期不是周期
6、函数单调性在上；在上增减区间规律不明显，只能就具体区间分析2、函数，的图像的作法五点法(1)确定函数的最小正周期；(2)令、得、，得到五个关键点、；(3)描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图像向左、右扩展，得到函数，的图像。3、三角函数的伸缩变化复习：函数图像平移基本结论小结如下： (1)先平移后伸缩：的图像得的图像得的图像得的图像得的图像。(2)先伸缩后平移：的图像得的图像得的图像得的图像得的图像。4、函数的有关概念，振幅周期频率相位初相(四)三角函数公式1、两角和与差公式：；。2、倍角公式：，；3、半角公式：，；推导：；。4、万能公式：，；5
7、、其它公式：，； 推导： 。二、解题技巧1、三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用“”的代换，如等。(2)项的分拆与角的配凑。在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解。分拆项：；配凑角：，等。特别地，与为互余角，它们之间可以互相转化在三角变形中使用频率最高。(3)降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理。(4)转化法：遇切化弦，求角把边都化成角，求角把角都化成边。异角化同角，负角化单角，异名化同名，高次化低次，特殊值化特殊角。(5)合一变形：把两个三角函数的和或差化
8、为“一个三角函数，一个角，一次方”的的形式：，这里辅助角所在象限由、的符号确定，角的值由确定。2、证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、特殊值的记忆(1)常用勾股数，仍然注意“符号看象限”。(2)；。三、母题分析母题1、关于与(或)的关系的推广应用：由于，故知道，必可推出(或)，公式如下：设，则，。例1-1已知，为一个内角，则
9、求：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)； (7)； (8)；(9)； (10)。【解析】(1)；(2)，又为一个内角，则为正值，为负值，为负值，取正值为；(3)；(4)；(5) ；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)。例1-2已知，且，则与的关系为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】与的关系，而， 故，故选B。点评：通过以上例子可以得出以下结论：由于与三者之间可以互化，知其一可知其余二，但有一点要注意如果通过已知，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于，要进行开方运算才能求出。母题2、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题
10、中，往往需要把式子添加分母，利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行含与含或的式子弦、切互化，这种添配分母的方法叫做“托底”法。“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于，即正切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。例2-1已知，求(1)；(2)的值。【解析】(1)原式；(2)原式。例2-2已知，则的值
11、为 。【答案】【解析】，原式。母题3、三角恒等变换：例3-1已知，求、的值。【解析】，又， 。总结：三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解。注意正负值的选取。，例3-2若，则 。【答案】【解析】得，又，。例3-3 。【答案】【解析】原式。母题4、关于形如：的式子在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式中得到启示，如下处理式子：，由于，故可设：，辅助角所在象限由、的符号确定，角的值由确定；当时，即：；当取值范围有要求时，根据要求判断端点范围。例4-1求函数，的值域。解题模板：出现()与(、)关系式时，先用降幂扩角公式再用辅助角
12、公式化一角一函数，再利用角的取值范围讨论值域。【解析】，则，则，函数值域为。例4-2求函数，的值域。解题模板：出现()与关系式时，先用知一可求二公式换元再化二次函数，再利用新元的取值范围讨论值域。【解析】设，则，则原函数化为，当时，时，函数值域为。例4-3已知函数，。(1)求的最小正周期、最大值及此时的集合；(2)证明：函数的图像关于直线对称。【解析】；(1)的最小正周期，当，即时，最大值为；(2)证明：， ，成立，的图像关于直线对称。例4-4已知函数()。(1)当函数取得最大值时，求自变量的集合；(2)该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解析】，(1)当取最大值时，只需，即
13、，当函数取最大值时，自变量的集合为；(2)将函数依次进行如下变换：把函数的图像向左平移，得到函数的图像，把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图像，把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，综上得到的图像。母题5、关于函数的图像：多选例5-1给出下列六种图像变换方法：图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变；图像向右平移个单位长度；图像向左平移个单位长度；图像向右平移个单位长度；图像向左平移个单位长度。请用上述变换中的两种变换，将函数的图像变
14、换到函数的图像，那么这两种变换的序号依次是( )。A、 B、 C、 D、【答案】BC【解析】，B正确，C正确，故选BC。总结：三角函数图像进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异。例5-2函数，其中，的图像如下图，则 。【答案】【解析】，将代入得，即，又，。总结：、这三个值求解以最困难，其中如果图像上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点在减区间内，则，如点在增区间内，则。本题也可由对称性得到最低点坐标，代入函数式求。例5-3函数(、为常数，)的部分图像如图所示，则的值是 。【答案】【解析】由图像得，将代入得，即，。例5-4函数(，)的部分图像如图所示，则的值为 。【答案】【解析】由图可知函数的最大值为，故，由，可得，而，故，再由可得，故，又，即，故，故。例5-5函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为 。【答案】【解析】，由题意得，则。为偶函数，又，故，即，。例5-6已知函数，将写成的形式，并求其图像对称中心的横坐标。【解析】；由即得，即对称中心的横坐标为，。例5-7已知函数(，)一个周期的图像如下图。(1)求函数的表达式；(2)若，且为的一个内角，求的值。【解析】(1)由图知函数的最大值为，则，函数的周期，而，则，又时，而，则，函数的表达式为；(2)由得，化简得，则，但，则，即为锐角，。
