1、空间点、直线、平面的位置关系一、证明空间平行的方法1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：，；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：，；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：，。2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：，；(2)利用面面平行的性质定理：，；(3)利用面面平行的性质：，。3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：，；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：，；(3)利用平面平行的传递性：，。解决空间
2、问题的关键是如何将“空间问题”转化为“平面问题”的转化思想的应用。题型一、“线线平行”到“线面平行”例1-1如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点。求证：平面。分析：证明本题的关键：在平面中“找”一条与平行的直线，由于点在平面中，所以可以在平面中过点“找”(显然，要“找”的直线就是平面与平面的交线)。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。【解析】证明：连接，与相交与，连接，是平行四边形，是的中点，又是的中点，又平面，平面，平面。例1-2如图所示，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。求证：平面。【解析】证明：取中点，连结，在矩形中，又，则，连结，
3、于是四边形为平行四边形，又平面，平面，平面。题型二、“面面平行”到“线面平行”例2-1如图所示，长方体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点。求证：平面。分析：本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂，所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点、都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点(的中点)，将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。【解析】证明：取的中点，连结、，、分别为、的中点，又，平面平面，平面。例2-2如图，正三棱柱中，是的中点，。求证：平面。【解析】证明：法一：作的中点，连接，是正三棱柱，且平面平面，又由题意得，则四边形为平行四边形，则，又，平面
4、平面，又平面，平面。法二：连接，设，连接，是正三棱柱，且，四边形是正方形，是的中点，又是的中点，平面，平面，平面。二、证明空间垂直的方法1、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：，；(2)利用直面垂直的推理：，；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若，则是直角三角形；2、证明直线与平面垂直的方法：(1)利用线面垂直的判定定理(主要方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直)：，；(2)利用线面垂直的推理：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(3)
5、若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法)： ，；(4)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面。3、证明面面垂直的方法：(1)利用面面垂直的定义，即证明这两个平面所成二面角的平面角为；(2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法：即证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面)。题型三、“线线垂直”到“线面垂直”例3-1如图所示，四面体中，为的中点，求证：平面。【解析】证明：连接，在中，由已知可得，而，即，平面。例3-2已知直角梯形中，是边长为的等边三
6、角形，。沿将折起，使至处，且；然后再将沿折起，使至处，且面面，和在面的同侧。求证：平面。【解析】证明：如图，在直角梯形中，由是边长为的等边三角形，得：，即，又，平面。例3-3如图，在多面体中，底面是梯形，底面，点为的中点。证明：平面。【解析】证明：在梯形中，则，点为的中点，四边形是平行四边形，又底面，底面，又平面，平面，平面。题型四、“线面垂直”到“线线垂直”例4-1如图所示的三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形。求证：。【解析】证明：取的中点，连、，则有，面，。例4-2如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，在平面内的射影为的中点。证明。【解析】证明
7、：连结，则易知与的交点为，平面，平面，。例4-3如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且，、分别为、的中点。求证：。【解析】证明：是的中点，。平面，从而平面，平面，。三、等积法求三棱锥的体积及点到面的距离 由于三棱锥是由个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。题型五、等积法求三棱锥的体积注意：等积法求体积时，要谨
8、记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。例5-1如图所示，边长为的正方体中，与相交于点。(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求四面体的体积。【解析】(1)证明：连接，则在正方体中，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；(2)证明：在正方体中，平面，又与交于点，平面；(3)解：在正方体中，点到平面的距离等于点到平面的距离为，。例5-2如图所示，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形。(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求三棱锥的体积。【解析】(1)证明：是的中位线，又平面，平面，平面；(2)证明：为正三角形，为中点，又，平面，又平面，；又，平面，
9、又平面，平面平面；(3)解：平面，是三棱锥的高，且，又在直角三角形中，由，可得，。例5-3如图，在底面是菱形的四棱锥中，。(1)证明：平面；(2)在侧棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论；(3)若，求几何体的体积。【解析】(1)证明：四棱锥底面是菱形，且，又，又，平面，平面，从而，又，平面；(2)在侧棱上存在点，使得平面，其中为的中点，证明如下：设，则为的中点，又为的中点，连接，则为的中位线。，又平面，平面，平面；(3)当时，几何体的体积为。题型六、点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用。1、求点到面的距
10、离主要方法：(1)直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作。例6-1在棱长为的正方体中求出下列距离：(1)点到面的距离；(2)线段到面的距离；(3)点到面的距离；(4)到平面的距离。【解析】(1)点到面的距离为；(2)线段到面的距离为；(3)点到面的距离为面对角线的，即；(4)到平面的距离为体对角线的，即。(2)转移法：若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离相等。例6-2棱长为的正方体中，、分别是棱、中点，求点到平面的距离。【解析】平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，作，证明平面，。例6-3在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，求点到平面的距离。【解析】直接法：
11、将三角形扩大到平行四边形，高平面，取的中点，连接、，过作垂线，平面即平面，平面，由、，可知平面，即到平面距离，根据勾股定理可以求得：，解得：，又知：，。转移法：平面，作，其后同(1)。(3)等积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。例6-4如图，在四棱锥中，平面，求点到平面的距离。【解析】直接法：分别取、的中点、，连、，则：易证，平面，点、到平面的距离相等，又点到平面的距离等于到平面的距离的倍，平面，平面平面于，平面于，易知，故点到平面的距离等于。等体积法：连结，设点到平面的距离为，从而，得的面积，由平面及，得三棱锥的体积，平面，平面，又，由，得的面积，由得，故点到平面的距离等于。例6-5如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，。(1)证明：；(2)求点到平面的距离。【解析】(1)证明：点和点为线段的三等分点， 点为圆的圆心，又是弧的中点，为直径，即，平面，平面，又平面，平面，且，平面，又平面，；(2)解：设点到平面的距离(即三棱锥的高)为，平面， 是三棱锥的高，且为，由已知可得，又，在中，故，又平面，故和为，在中，即，故，即点到平面的距离为。
