1、课时作业(十五)1空间四边形的四条边相等，那么它的对角线()A相交且垂直 B不相交也不垂直 C相交不垂直 D不相交但垂直答案D解析如图空间四边形ABCD，E为对角线BD的中点，因为四条边相等，则有CE，AE均垂直于BD，则BD与面AEC垂直，则BDAC.2已知直线m，n是异面直线，则过直线n与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个 C有一个或无数个 D不存在答案B3已知两条直线m，n，两个平面，给出下列四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确的命题是()A BC D 答案C4如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角，记作，那么sin的值为(
2、)A. B.C. D1答案B解析截面A1BD符合题意5在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是()A30 B45C60 D90答案A解析PA平面ABCD，PCA为PC与平面ABCD所成的角，tanPCA.PCA30.6P是ABC所在平面外一点，且PAPBPC，则PA，PB，PC与所成的角()A都相等 B都不相等C有且只有两个相等 D大小不确定答案A解析设P在平面ABC内的射影为O，PAPBPC，PAOPBOPCO.PAOPBOPCO.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
3、A. B.C. D.答案D8如图，四面体ABCD中，ACBD，E，F分别为AD，BC的中点，且EFAC，BDC90.求证：BD平面ACD.证明取CD中点为G，连接EG，FG.设ACBD2，则EGFG1.EF，EGFG.F，G分别为CD，CB的中点，FGBD，BDEG.BDCD，EGCDG，BD面ACD.9如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：PD平面ABCD.证明PD2DC2PC2，PDC90，即PDDC.同理，PDDA.又DCDAD，PD面ABCD.10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，A
4、D2，AB2，BC6.求证：BD平面PAC.证明PA面ABCD，BD面ABCD，PABD.在RtABD中，AD2，AB2，tanABD，ABD30.在RtABC中，AB2，BC6，tanBAC，BAC60.在ABE中，BAE60，ABE30，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.11.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解析(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E平面ABC，所以A1EA
5、E.因为ABAC，所以AEBC.又BCA1EE，故AE平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形于是A1DAE.因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，BC平面ABC，所以BCA1E.又因为BCAE，A1EAEE，所以BC平面AA1DE.又因为A1F平面AA1DE，所以BCA1F，又因为A1FDE，BCDEE，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1
6、E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解析(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.又因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2O
7、C2OA12，故OA1OC.又因为OA1AB，OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积为VSABCOA13.在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，求BC1与侧面ACC1A1所成的角解析取AC中点D，连接BD，C1D.正三棱柱ABCA1B1C1，AA1面ABC，又BD面ABC，AA1BD.BABC，ADCD，BDAC.又ACAA1A，BD面ACC1A1.C1D为BC1在平面ACC1A1内的射影BC1D为BC1与侧面ACC1A1所成的角CC1，CD，C1D，BD.在RtBC1D中，tanBC1D，BC1D30.
