1、2016年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合A=x|y=，B=x|x22x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB3设，是非零向量，已知：命题p：，则；命题q：若=0， =0则=0，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dpq4 =（）A B1C D15执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A4B5C6D556在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）
2、A32B0C32D17如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A1或B1或2C1或2D2或9已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=110将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1
3、、x2，有|x1x2|min=，则=（）A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为12已知直线ax+by6=0（a0，b0）被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值为13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是14已知函数f（x）=，若存在x1，x2R，当0x14x212时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是15给出下列命题：已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（2）=0.3；函数f（x1）是偶函数，且在（0
4、，+）上单调递增，则f（2）f（log2）f（）2已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是=3，其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知a，b，c分别为ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=（）求B的大小；（）若a+c=5，b=7，求的值17某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，
5、60）六组，并作出频率分布直方图（如图）将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”（1）请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为，求得分布列和数学期望附参考公式与数据：K2=P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82
6、818已知正项等差数列an的首项为a1=2，前n项和为Sn，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记Pn=+，Qn=+，证明：PnQn19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1DCC1，AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1（1）证明：MD平面ABC；（2）证明：BC平面ABB1A1（3）求二面角BACA1的余弦值20已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由21已知椭圆C： +=1，（ab
7、0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，2），1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围2016年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数，得出其共轭复数【解答】解： =
8、，复数的共轭复数是+故选：A2已知集合A=x|y=，B=x|x22x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|y=（，2，B=x|x22x0=（0，2），故BA，故选：C3设，是非零向量，已知：命题p：，则；命题q：若=0， =0则=0，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dpq【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可【解答】解：，是非零向量，若，则；则命题p是真命题，若=0， =0，则=0，不一
9、定成立，比如设=（1，0），=（0，1），=（2，0），满足=0， =0，但=20，则=0不成立，即命题q是假命题，则pq为真命题，pq为假命题，（p）（q），pq都为假命题，故选：A4 =（）A B1C D1【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果【解答】解： =2=2sin30=1，故选：D5执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A4B5C6D55【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，容易得到S4=30，S5=55
10、50，故输出i的值为5故选：B6在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A32B0C32D1【考点】二项式系数的性质【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（312）5=32故选：C7如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质【
11、分析】根据SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证ACSB，根据线面平行的判定定理易证AB平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出ASO是SA与平面SBD所成的角，CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果【解答】解：SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，连接BD，则BDAC，根据三垂线定理，可得ACSB，故A正确；ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，AB平面SCD，故B正确；SD底面ABCD，ASO是SA与平面SBD所成的角，CSO是SC与平面SBD所成的，而SAOCSO，ASO=CSO，
12、即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；ABCD，AB与SC所成的角是SCD，DC与SA所成的角是SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D8已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A1或B1或2C1或2D2或【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）由z=mx+y得y=mx+z，即直线的截距最大，z也最大若m0，目标函数y=mx+z的斜率k=m0，要使z=mx+y取得最大值的最
13、优解不唯一，则直线z=mx+y与直线xy+1=0平行，此时m=2，若m0，目标函数y=mx+z的斜率k=m0，要使z=ymx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y2=0，平行，此时m=1，综上m=2或m=1，故选：B9已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的标准方程【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点在直线l上，
14、令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选：A10将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）A B C D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（
15、x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为【考点】几何概型【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可【解答】解：根据几何概型得
16、：取到的点到O的距离大于1的概率：=故答案为：12已知直线ax+by6=0（a0，b0）被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值为【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的方程得到圆的半径为，再由弦长为2得到直线过圆心，即得到a与b满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论【解答】解：圆x2+y22x4y=0可化为（x1）2+（y2）2=5，则圆心为（1，2），半径为，又由直线ax+by6=0（a0，b0）被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为2，则直线ax+by6=0（a0，b0）过圆心，即a+2b6=0，亦即a+2b=6，a0，b0，所以6=a+2b2，当且仅当a=2b时取等
17、号，所以ab，所以ab的最大值为，故答案为：13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是15【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是3，三棱柱的高是3；三棱锥的底面也是侧视图，高是1，所以几何体的体积是V=15，故答案为：1514已知函数f（x）=，若存在x1，x2R，当0x14x212时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是【考点】分
18、段函数的应用【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1x13，x1f（x2）=x13+4，记g（x1）=x13+4，则g（x1）=3+8x1=3x1（3x18），从而判断函数的单调性及最值，从而求得【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，3+4x14，解得，1x13，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（+4x1）=x13+4，记g（x1）=x13+4，g（x1）=3+8x1=3x1（3x18），故g（x1）在1，上是增函数，在（，3上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：15给出下列命题：已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（
19、2）=0.3；函数f（x1）是偶函数，且在（0，+）上单调递增，则f（2）f（log2）f（）2已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是=3，其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据随机变量服从标准正态分布N（0，2），得到正态曲线关于=0对称，利用P（22）=0.4，即可求出P（2）确定函数f（x）图象关于x=1对称，在（1，+）上单调递增，即可得出结论；已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是a+3b=0【解答】解：随机变量服从正态分布N（0，2），正态曲线关于=0对
20、称，P（22）=0.4，P（2）=（10.4）=0.3正确；函数f（x1）是偶函数，f（x1）=f（x1），函数f（x）图象关于x=1对称，函数f（x1）在（0，+）上单调递增，函数f（x）在（1，+）上单调递增，f（log2）=f（3）=f（1），（）212，f（2）f（log2）f（）2，正确；已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是a+3b=0，故不正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知a，b，c分别为ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=（）求B的大小；（）若a+c=5，b=7，
21、求的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求B的大小；（）由余弦定理可求|AB|BC|=42，利用平面向量数量积的运算即可得解【解答】解：（I）在ABC中，cosC+sinC=，cosC+sinC=，sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C），sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，由于sinC0，可得：sinB=cosB，tanB=，B（0，），B=；（）B=，a+c=5，b=7，由余弦定理b2=a2+c22accosB，可得：49=a2+c2ac=（a+c）23ac=1753ac，解得：ac=42，即
22、|AB|BC|=42，=|AB|BC|cosB=42=2117某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”（1）请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200
23、（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为，求得分布列和数学期望附参考公式与数据：K2=P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在
24、达标学生中抽取人数为3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200（0.02+0.005）10=50，则不达标人数为150，列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200K2=，在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12=9人，在达标学生中抽取人数为：12=3人，则的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 PE
25、（）=18已知正项等差数列an的首项为a1=2，前n项和为Sn，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记Pn=+，Qn=+，证明：PnQn【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（1）通过设正项等差数列an的公差为d，并利用首项和公差d表示出a2、a6，通过a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列构造方程，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知=，利用等比数列的求和公式计算可知Pn=1，通过裂项可知=，进而并项相加即得结论【解答】（1）解：设正项等差数列an的公差为d，则d0，依题意，a2=2+d，a6=2+5d，a1+3，2a2+2，a6+8
26、成等比数列，（6+2d）2=（2+3）（10+5d），整理得：36+24d+4d2=50+25d，即4d2d14=0，解得：d=2或d=（舍），数列an的通项公式an=2n；（2）证明：由（1）可知=，由等比数列的求和公式可知Pn=+=1，=，Qn=+=1+=1，显然，当n1时，故PnQn19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1DCC1，AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1（1）证明：MD平面ABC；（2）证明：BC平面ABB1A1（3）求二面角BACA1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（
27、1）取AB的中点H，连接HM，CH，根据线面平行的判定定理即可证明MD平面ABC；（2）根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明BC平面ABB1A1（3）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角BACA1的余弦值【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH，D、M分别为CC1和A1B的中点，HMBB1，HM=BB1=CD，HMCD，HM=CD，则四边形CDMH是平行四边形，则CH=DMCH平面ABC，DM平面ABC，MD平面ABC；（2）证明：取BB1的中点E，AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1C1D=1，A1DCC1，A1
28、C1=，则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，则A1B1C1是直角三角形，则B1C1A1B1，在正三角形BA1B1中，A1E=，A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，则A1DE是直角三角形，则DEA1E，即BCA1E，BCA1B1，A1EA1B1=A1，BC平面ABB1A1（3）建立以E为坐标原点，EB，EA1的反向延长线，ED分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，0），A1（0，0），则设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=（1，0），=（0，0，1），则，即，令y=1，则x=，z=0，即=（，1，0），平
29、面ACA1的法向量为=（x，y，z），=（1，1），=（2，0，0），则，得，即，令y=1，则z=，x=0，即=（0，1，），则cos，=，即二面角BACA1的余弦值是20已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，
30、构造函数g（x）（x0），求出导函数，通过讨论当m0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，当m0时，类比求解，推出当m0时，过点P（1，3）存在两条切线，当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x0），f（x）=x+1=，m0时，f（x）0，函数在（0，+）递增，m0时，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y（x0+alnx0）=（1+）（xx0）因为切线过点P（1，3），则3
31、（x0+alnx0）=（1+）（1x0）即m（lnx0+1）2=0 令g（x）=m（lnx+1）2（x0），则 g（x）=m（）=，当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递增；在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=20故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足式因此当m0时，切线的条数为0当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减，在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=20取x1=e1+e，则g（x1）=a（1+e11）2=ae10故g（x）在（1，+）上存在唯一零点取
32、x2=e1，则g（x2）=m（1+e1+1）2=me1+2m4=me1+2（1+）设t=1+（t1），u（t）=et2t，则u（t）=et2当t1时，u（t）=et2e20恒成立所以u（t）在（1，+）单调递增，u（t）u（1）=e20恒成立，所以g（x2）0故g（x）在（0，1）上存在唯一零点因此当m0时，过点P（1，3）存在两条切线当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线综上所述，当m0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m0时，不存在过点P（1，3）的切线21已知椭圆C： +=1，（ab0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的
33、两点A、B，若ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，2），1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解出即可得出（2）F2（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2）. =， 1x1=x2由于四边形PAQB是平行四边形，可得=（x1+x2，y1+y2+4）设直线AB的方程为：y=kx1，与椭圆方程联立化为：（k2+2）x22kx1=0，利用根与系数的关系可得：k2=，可得：k2由于=，令k2=t，f（t）=，再利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a=，b=c=1椭圆C的标准方程为： =1（2）F2（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2）. =， 1x1=x2四边形PAQB是平行四边形，=（x1+x2，y1+y2+4）设直线AB的方程为：y=kx1，联立，化为：（k2+2）x22kx1=0，x1+x2=，x1x2=，x1=x2可得：k2=1时，k=0时，k2综上可得：k2y1+y2=kx11+kx21=k（x1+x2）2，=，令k2=t，f（t）=，f（t）=0，函数f（t）在t上单调递减，f（t）2016年7月21日
