1、2015-2016学年广东省广州市南沙一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共12题）1因为指数函数y=ax是增函数，是指数函数，则是增函数这个结论是错误的，这是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误2i是虚数单位，复数等于（）A1iB1iC1+iD1+i3曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是（）A1BCD4曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D1205二项式（x）9的展开式中x3的系数是（）A84B84C126D1266在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=（）AB2CD47设f（
2、x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是图中的（）ABCD8某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A14B24C28D489设（1x）2015=a0+a1x+a2x2+a2014x2014+a2015x2015，则a2014=（）A2014B2014C2015D201510函数y=x32ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，3）B（0，）C（0，+）D（，3）11在数列an中，an=1+，则ak+1=（）Aak+Bak+Cak+Dak+12当x2时，ln
3、x与的大小关系为（）AlnxBlnxClnx=D大小关系不确定二、填空题（每题5分，共6题）13已知x0，观察下列不等式：x，xx4，则第n个不等式为14正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a=15设a，bR，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为16若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是三、解答题17已知复数z=（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时：（1）z为实数？（2）z为纯虚数？（3）A位于第三象限？18已知数列an满足a1=2，且anan+1+an+12an=0（nN+）（1）求a2、a3、a
4、4的值；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明19六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端20已知二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x0，2的最值21某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的
5、降低销x（单位：元，0x30）的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？22已知函数f（x）=ex+ax1（e为自然对数的底数）（）当a=1时，求过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（）若f（x）x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年广东省广州市南沙一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12题）1因为指数函数y=ax是增函数，是指数函数，则是增函数这个结论是错误的，这是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式
6、错误D非以上错误【考点】演绎推理的基本方法【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指数函数是一个减函数y=ax是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指数函数是一个减函数y=ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错故选A2i是虚数单位，复数等于（）A1iB1iC1+iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果【解答】解：复数=ii2=1+i，故选D3曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是
7、（）A1BCD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】画出图形，利用定积分的几何意义，将面积表示为定积分的形式，计算定积分即可【解答】解：如图曲线y=x于y=x3围成的封闭区域为图中阴影部分，其面积为2=2（）|=；故选B4曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D120【考点】导数的几何意义【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y|x=1，再结合正切函数的值求出角的值即可【解答】解：y/=3x22，切线的斜率k=3122=1故倾斜角为45故选B5二项式（x）9的展开式中x3的系数是（）A84B84C126D126【考点】二项式定
8、理的应用【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为3，写出出展开式中x3的系数，得到结果【解答】解（x）9的展开式的通项为Tr+1=，令92r=3，解得r=3，得到展开式中x3的项C93（1）3x3=84x3，即x3的系数是84，故选：B6在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=（）AB2CD4【考点】复数求模；复数的基本概念【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式，根据模长公式做出要求向量的模长【解答】解：复数1+i与1+3i分别对应向量，=1+3i1i=2i=2故选B7设f（x）是函数f
9、（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是图中的（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选A8某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A14
10、B24C28D48【考点】排列、组合的实际应用【分析】法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案【解答】解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12C34+C22C24=24+16=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46C44=151=14故选A9设（1x）2015=a0+a1x
11、+a2x2+a2014x2014+a2015x2015，则a2014=（）A2014B2014C2015D2015【考点】二项式系数的性质【分析】由题意可得a2014展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数【解答】解：由题意可得a2014为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为（1）2014=2015，故选：D10函数y=x32ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，3）B（0，）C（0，+）D（，3）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】先对函数求导，函数在（0，1）内有极小值，得到导函数等于0时，求出x的值，这个值就
12、是函数的极小值点，使得这个点在（0，1）上，求出a的值【解答】解：根据题意，y=3x22a=0有极小值则方程有解a0x=所以x=是极小值点所以01010a故选B11在数列an中，an=1+，则ak+1=（）Aak+Bak+Cak+Dak+【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由已知中an=1+，我们依次给出a1，a2，an，ak的表达式，分析变化规律，即可得到ak+1的表达式【解答】解：an=1+，a1=1，a2=1+，an=1+，ak=1+，所以，ak+1=ak+故选：D12当x2时，lnx与的大小关系为（）AlnxBlnxClnx=D大小关系不确定【考点】不等式比较大小【分析】本题lnx（
13、x2）时为正数，只要将变形判断正负即可【解答】解：函数y=lnx在（0，+）上单调递增当x2时，lnxln2ln1=0而=0lnx故选A二、填空题（每题5分，共6题）13已知x0，观察下列不等式：x，xx4，则第n个不等式为x【考点】归纳推理【分析】根据不等式：x，xx4，结合左右两边式子的特点，可以猜测第n个不等式x【解答】解：观察下列不等式：x，xx4，可知，各个不等式左边共有两项，第一项都为x，第二项依次为，右边依次为2，3，4，n+1从而得满足的不等式为x故答案为：x14正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a=4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设底面边长为a，根据体积公
14、式用a表示出高h，得出表面积S关于a的函数，利用基本不等式得出答案【解答】解：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则=16，h=三棱柱的表面积S=a2+=a2+3=24（a0）当且仅当=即a=4时，取等号故答案为：415设a，bR，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案【解答】解：由题，a，bR，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为816若f（x）=x2+bln（x+2）在
15、（1，+）上是减函数，则b的取值范围是b1【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数在（1，+）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f（x）0进而根据导函数的解析式求得b的范围【解答】解：由题意可知f（x）=x+0，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，f（x）=x（x+2）=x2+2x且x（1，+）f（x）1要使bx（x+2），需b1故答案为b1三、解答题17已知复数z=（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时：（1）z为实数？（2）z为纯虚数？（3）A位于第三象限？【考点】复数的代数表示法及其几
16、何意义【分析】利用复数的几何意义、及复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出【解答】解：（1）z为实数，m29m+18=0，解得m=3或6当m=3或6时，z=0，3为实数（2）z为纯虚数，解得m=5当m=5时，z=2i为纯虚数（3）z在复平面内表示的点A在第三象限，解得3m5当3m5时，A位于第三象限18已知数列an满足a1=2，且anan+1+an+12an=0（nN+）（1）求a2、a3、a4的值；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由题意可得，又a1=2，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值（2）猜想，检验n
17、=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：（1）由题得，又a1=2，则，（2）猜想证明：当n=1时，故命题成立假设当n=k时命题成立，即则当n=k+1时，故命题也成立综上，对一切nN+都有成立19六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先把甲、乙
18、作为一个“整体”，看作一个人，再把甲、乙进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，问题得以解决（5）根据题意，首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，再让其他4人在中间位置作全排列，根据分步计数原理，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有
19、A41种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站A41A55=480（种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有A52种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法A52A44=480（种）方法三：若对甲没有限制条件共有A66种法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A662A55=480（种）（2）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根椐分步计数原理，共有A55A22=240（种）站法（3）因为甲、乙不
20、相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A52种，故共有站法为A44A52=480（种）（4）先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A64=360种（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22A44=48（种）方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分
21、步计数原理共有A22A44=48种站法20已知二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x0，2的最值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）由f（x）=ax2+bx3，知f（x）=2ax+b由二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）（2）由f（x）=x22x3，知g（x）=x
22、f（x）+4x=x32x2+x，所以g（x）=3x24x+1=（3x1）（x1）令g（x）=0，得，x2=1列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=ax2+bx3，f（x）=2ax+b二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行，解得a=1，b=2所以f（x）=x22x3（2）f（x）=x22x3，g（x）=xf（x）+4x=x32x2+x，所以g（x）=3x24x+1=（3x1）（x1）令g（x）=0
23、，得，x2=1x（，）（，1）1（1，+）g（x）+00+g（x）极大值极小值0所以函数g（x）的单调递增区间为（，），（1，+）在x2=1有极小值为0在有极大值（3）g（0）=0，g（2）=2，由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为021某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0x30）的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（）先设商品降价x元，写出多
24、卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（）根据（）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大【解答】解：（）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），则依题意有f（x）=（30x9）=（21x），又由已知条件，24=k22，于是有k=6，所以f（x）=6x3+126x2432x+9072，x0，30（）根据（），我们有f（x）=18x2+252x432=18（x2）（x1
25、2）x0，2）2（2，12）12（12，30f（x）0+0f（x） 极小极大当x=12时，f（x）达到极大值因为f（0）=9072，f（12）=11664；所以定价为3012=18元能使一个星期的商品销售利润最大22已知函数f（x）=ex+ax1（e为自然对数的底数）（）当a=1时，求过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（）若f（x）x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【分析】（I）当a=1时，f（x）=ex+x1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1）处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x
26、轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II）将f（x）x2在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=ex+x1，f（1）=e，f（x）=ex+1，f（1）=e+1，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为ye=（e+1）（x1），即y=（e+1）x1，设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，A，B（0，1），过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（II）由f（x）x2得，令h（x）=，令k（x）=x+1exk（x）=1ex，x（0，1），k（x）0，k（x）在（0，1）上是减函数，k（x）k（0）=0因为x10，x20，所以，h（x）在（0，1）上是增函数所以h（x）h（1）=2e，所以a2e2016年8月30日
