1、 长春市普通高中2018届高三质量监测（二） 数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知，则李国波录A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，则A. B. C. 或 D. 3.设命题，则是A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则A. B. C. D. 5. 已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则 A. B. C. D. 6. 已知动点满足线性条件，定点，则直线斜率的最大值为A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则内切圆的半径为A. B. C. D
2、. 8. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象的一条对称轴9. 若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为A. B. C. D. 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 12. 若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分
3、，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 的展开式中含项的系数为_.14. 更相减损术是出自九章算术的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_.是否否是开始 输出结束输出 15. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为，球的半径为，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则 _.16.在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为，则 _.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（
4、一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，其面积.(1)求的值； (2) 设内角的平分线交于，求 .18. （本小题满分12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.0.0080.0040.0030.0020.001频率/组距 100 150 200 250 300 350 400质量（克） (1) 现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望. (2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率
5、，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以元/千克收购；B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19. （本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，.（1）证明：；（2）设是线段上的动点，是否存在这样的点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分）已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.
6、求证：为定值，并求出此定值.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）求证：函数有唯一零点；（2）若对任意，恒成立,求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数.(1)求的解集；(2) 若的最小值为,正数满足，求证
7、：.长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】A .故选A. 2. B【命题意图】本题考查复数的分类. 【试题解析】B .故选B. 3. C【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.【试题解析】C由含有一个量词的命题的否定. 故选C. 4. A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.【试题解析】A由题意知，所以.故选A.5.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由得，解得，从而. 故选C.6. C【命题意图】本题主要考查线性规划的相关
8、知识. 【试题解析】C根据可行域，当取时，直线的斜率最大为3.故选C. 7. D【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.【试题解析】D由题意知的周长为，面积为，由内切圆的性质可知，其半径为.故选D. 8. C【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质. 【试题解析】C由题意可知，故，.故选C. 9. B【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用. 【试题解析】B由直线与曲线围成区域的面积为，从而所求概率为.故选B. 10. D【命题意图】本题主要考查三视图问题. 【试题解析】D 可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为.故选D. 11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关
9、知识. 【试题解析】B由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B. 12. A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识. 【试题解析】A由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，解得. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 40【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.【试题解析】由可知含的项为，因此的系数为40.14. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识. 【试题解析】由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13. 15. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】设，则，代入，又，即. 16. 【命题意图】本题考查数列通项公
10、式的算法. 【试题解析】由题意可知三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】（1），可知，即.（6分）（2）由角平分线定理可知，在中，在中，即，则. （12分） 18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个.则的可能取值为0,1,2,3.，所以的分布列为0123的数学期望. （6分）（2）方案A： 方案B：低于250克：元高于或等于250克元总计元由，故B方案获利更多，应选B方案. （1
11、2分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连结，则由余弦定理可知，由直棱柱可知， （6分）（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立坐标系. （），又，则，故长为1.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（1）由题意可知，抛物线的方程为.（4分）（2）已知点，设直线的方程为：，则，联立抛物线与直线的方程消去得可得，代入可得.因此可以为定值，且该
12、定值为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1） ，易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在上存在唯一零点. （4分）（2）设的零点为，即. 原不等式可化为，令，则，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，故只求，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能. 因此，即求所求. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具
13、体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（5分）（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）由图像可知：的解集为. （5分）（2）图像可知的最小值为1， 由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即. （10分）
