1、第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第325页A组基础保分练1若双曲线C：x21(b0)的离心率为2，则b()A1BC.D2答案：C2设双曲线C：1(ab0)的两条渐近线的夹角为，且cos ，则C的离心率为()A.BC.D2答案：B3在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x21有公共的渐近线，且双曲线C经过点P(2，)，则双曲线C的焦距为()A.B2C3D4答案：D4已知双曲线1(b0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B3C5D4答案：A5已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的
2、面积为()A.B1C2D4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，所以AB中点坐标为，所以222，即x1x22，所以SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x2|2.答案：C6已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4解析：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60.又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)由得所以M，所以|OM|
3、 ，所以|MN|OM|3.答案：B7(2020高考北京卷)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_解析：双曲线C：1，c2639，c3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为yx，即yx，即xy0，则C的焦点到其渐近线的距离d.答案：(3,0)8(2020高考全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_解析：如图，A(a,0)由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB3，即b23ac3a2.又c2a2b2，即b2c2a2，c23ac2a20，e23e
4、20.解得e2或e1(舍去)故e2.答案：29(2021八省联考模拟卷)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.解析：(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B，因为|AF|BF|，故ac，故c2ac2a20，即e2e20，故e2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故渐近线方程为yx，所以BAF，BFA，又tanBFA，tanBAF，所以tan 2BAFtanBFA，因为BFA，故BFA2BAF.B组能力提升练1(多选题)(202
5、1山东滨州期末)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为1的条件是()A双曲线的离心率为B双曲线过点C双曲线的渐近线方程为3x4y0D双曲线的实轴长为4解析：由题意可得焦点在x轴上，且c5.A选项，若双曲线的离心率为，则a4，所以b2c2a29，此时双曲线的方程为1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为m(m0)，所以c216m9m25，解得m1，所以此时双曲线的方程为1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，
6、此时双曲线的方程为1，故D错误答案：ABC2(2021湖北稳派教育联考)设点F1，F2分别是双曲线C：1(a0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx答案：D3已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上的一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案：A4(多选题)已知双曲线E与双曲线y21有相同的渐近线，且双曲线E过点M(3，)，则下列结论正确的是()A双曲线E的焦点坐标为(5，0
7、)B双曲线E的标准方程为1C双曲线E的离心率为D圆x2(y5)245与双曲线E的渐近线相切解析：由题意可设双曲线E的方程为y2，双曲线E过点M，()2，解得5，双曲线E的标准方程为1，双曲线E的焦点坐标为(0，5)，离心率e，A不正确，B，C正确；圆x2(y5)245的圆心(0，5)到E的渐近线x3y0的距离d3，且该圆的半径R3，圆x2(y5)245与E的渐近线相切，D正确答案：BCD5已知点F2为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx交C于A，B两点，若AF2B，SAF2B2，则C的虚轴长为_答案：26已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_解析：对于焦点在
8、x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.本题中，双曲线1即1，其焦点在x轴上，则解得4m8，则焦点到渐近线的距离d(0,2)答案：(0,2)C组创新应用练1(2021广东四校联考)P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1B2C4D21解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2(图略)，因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为点
9、F2到直线l的距离由题意可得直线l的方程为yx，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d1，故|PQ|PF1|的最小值为21.答案：D2已知双曲线C：y21的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P.若|FQ|t|QP|，则实数t的取值范围是()A.B.C.D.解析：由条件知F(2,0)设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，则(x12，y1)，(x0x1，y0y1)，则(x12，y1)t(x0x1，y0y1)，所以x1，y1.因为点P(x0，y0)，Q(x1，y1)都在双曲线C上，所以消去y0，得x0.易知x0，所以，易知t0，所以0t，即实数t的取值范围是.答案：A3一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔(如图所示)作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分若|OA|10，|OB|12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为()A.BC.D解析：设|MB|t，则由题意，可得|MO|12t，|MA|8t，有|MO|MA|4|AO|10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c10，实轴长2a4，即c5，a2，所以e.答案：D
