1、第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第321页A组基础保分练1已知直线l：axya30和圆C：x2y24x2y40，则直线l和圆C的位置关系是()A相交B相切C相离D都有可能答案：A2(2021六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为()A2B3C4D5答案：A3从圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()A.BC.D0解析：如图，圆x22xy22y10的圆心为C(1,1)，半径为1，两切点分别为A，B，连接AC，PC，则|CP|，|AC|1，sin ，所以cosAP
2、Bcos 212sin2.答案：B4(多选题)(2021山东模拟)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线的方程为()Ax2Bx2C4x3y40D4x3y40解析：根据题意，圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，半径r1.过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k，则其方程为y4k(x2)，即kxy2k40，则有1，解得k，则切线的方程为4x3y40.综上可得，切线的方程为x2或4x3y40.答案：BC5(2021衡水一中模考)圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x3)
3、2(y2)24的公切线的条数是()A1B2C3D4答案：C6(2021浙江名校联考)已知圆C的方程为(x3)2y21，若y轴上存在一点A，使得以A点为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点，则点A的纵坐标可以是()A1B3C5D7解析：设A(0，b)，则圆A与圆C的圆心距d.因为以A点为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，所以31d31，即24，解得b，观察各选项知选A.答案：A7若直线过点P且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为_答案：x3或3x4y1508(2021珠海六校联考)已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则圆C的面积为_解析：圆
4、C：x2y22ax2y20可化为(xa)2(y1)2a21，因为直线yax和圆C相交，ABC为等边三角形，所以圆心C到直线axy0的距离为，即d，解得a27，所以圆C的面积为6.答案：69已知圆M过C(1，1)，D(1,1)两点，且圆心M在直线xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解析：(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)由题意知，四边形PAMB的面积为SSPAMSPBM(|AM|PA|BM|PB|)又
5、|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|2|PM|2|AM|2|PM|24，所以S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为22.10已知圆O：x2y2r2(r0)与直线3x4y150相切(1)若直线l：y2x5与圆O交于M，N两点，求|MN|；(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k23，试证明直线BC恒过一点，并求出该点的坐标解析：(1)由题意知，圆心O到直线3x4y150的距离d3r，所以圆
6、O：x2y29.又圆心O到直线l：y2x5的距离d1，所以|MN|24.(2)证明：易知A(3,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AB：yk1(x3)，由得(k1)x26kx9k90，所以3x1，即x1，所以y1k1(x13)，所以B.同理C.由k1k23得k2，将代替k2，可得C.当，即k1时，kBC，k1.从而直线BC：y.即y，化简得y.所以直线BC恒过一点，该点为.当k1时，k2，此时xBxC，所以直线BC的方程为x，过点.综上，直线BC恒过定点.B组能力提升练1若直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是()Ax0By1Cxy10Dxy10
7、答案：D2(2021福州适应性练习)若在圆x2y22x6y0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5B10C15D20答案：B3(多选题)(2021山东德州期末)已知点A是直线l：xy0上一定点，点P，Q是圆x2y21上的动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A(0，)B(1，1)C(，0)D(1,1)解析：原点O到直线l的距离为d1，则直线l与圆x2y21相切，当AP，AQ均为圆x2y21的切线时，PAQ取得最大值连接OP，OQ，由于PAQ的最大值为90，且APOAQO90，|OP|OQ|1，故四边形APOQ为正方形，所以|OA|OP
8、|，设点A的坐标为(t，t)，由两点间的距离公式得|OA| ，整理得2t22t0，解得t0或t，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)答案：AC4(2021烟台调研)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围为()A2,6B4,8C，3D2，3解析：根据题意得，A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，圆心(2,0)到直线xy20的距离d2，圆的半径为，设点P到直线xy20的距离为d，则d3，所以2SABP23，即2SABP6.答案：A5已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为
9、B，则|AB|_.答案：66(2021江苏启东中学检测)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2：(x4)2(y5)29，点M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|PM|的最大值是_解析：圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为C1(1，1)，半径为1，圆C2：(x4)2(y5)29的圆心为C2(4,5)，半径为3.要使|PN|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|的最大值为|PC2|3，|PM|的最小值为|PC1|1，故|PN|PM|的最大值是(|PC2|3)(|PC1|1)|PC2|PC1|4，设C2(4,5)关于x轴的对称点为C2(4，5)，|PC2
10、|PC1|PC2|PC1|C1C2|5，故|PC2|PC1|4的最大值为549，即|PN|PM|的最大值是9.答案：97已知圆O：x2y29及点C(2,1)(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明；(2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程解析：(1)四边形OACB为菱形，证明如下：易得OC的中点为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得OC的垂直平分线的方程为y2x，代入x2y29，得5x210x0，1，21，AB的中点为，则四边形OACB为平行四边形，又OCAB，四边形OACB为菱形(2)当直线l的斜率不
11、存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，)，SOPQ222.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，则圆心O到直线l的距离d .由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d .当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值为.2，SOPQ的最大值为，此时，令，解得k7或k1.故直线l的方程为xy30或7xy150.C组创新应用练1已知直线l：xy10截圆：x2y2r2(r0)所得的弦长为，点M，N在圆上，且直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，若PMPN，则|MN|的取值范围为()A2，2 B2，2 C， D， 解析：由题意，2，解得
12、r2，因为直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，故P(1,1)，设MN的中点为Q(x，y)，则OM2OQ2MQ2OQ2PQ2，即4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得22，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为，答案：D2已知从圆C：(x1)2(y2)22外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，且有|PM|PO|(O为坐标原点)，则当|PM|取得最小值时点P的坐标为_解析：如图所示，圆C的圆心为C(1,2)，半径r，因为|PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可当直线PO垂直于直线2x4y30，即直线PO的方程为2xy0时，|PM|最小，此时点P即为两直线的交点，由得故当|PM|取得最小值时，点P的坐标为.答案：
