1、四川省成都南开为明学校（为明教育四川学区）2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题总分:150分 时间:120分钟 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.复数（ ）ABCD2.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点的坐标是( )A.(3,2,-1)B.(-3,-2,-1)C.(-3,2,1)D.(3,-2,1)3.设函数在处存在导数，则 ( )A. B. C. D. 4.已知圆在伸缩变换的作用下变成曲线,则曲线的方程为( )A. B. C. D. 5.右图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是( )A.在上，是增函数 B.在上，是减函数C.在上，是增函数 D.
2、在上，是增函数6.右图示,在四面体中,设 ,为的中点,为的中点,则= ( )A.B.C.D.7.如下图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列的前4项，则的通项公式可以是( )A.B.C.D.8.已知函数的导函数为，且满足，则( )A.B.C.D.e9.在长方体中, ,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A.B.C.D.10.如右图,在棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,则点到平面的距离等于( )A. B. C. D.11.定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.12.设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在
3、有且仅有3个极大值点在有且仅有2个极小值点在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是( )ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.定积分的值为_ _ _;14.在极坐标系中，点到直线的距离为 ;15.已知单位向量的夹角为45，与垂直，则_ _;16.定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数是上的“平均值函数”, 是它的一个均值点,例如是上的平均值函数, 就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数,则实数的取值范围是_ _.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间.18. (12分)
4、已知，为前项和。(1)计算(2)猜想公式，并用数学归纳法证明.19. (12分)如右图,已知四棱锥的底面为菱形,且,是中点(1)证明:平面(2)若,求平面与平面所成二面角的正弦值.20. (12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线（1）求与交点的极坐标；（2）设点在上，求动点的极坐标方程.21. (12分)如右图,正方形所在平面与等腰三角形所在平面相交于,平面.(1)求证: 平面;(2)设是线段上一点,当直线与平面所成角的正弦值为时,试确定点的位置.22. (12分)已知函数 .(1)若函数 在上是减函数,求实数的最小值;(2)已知 表示的导数,若(为
5、自然对数的底数),使成立,求实数的取值范围.SK分析:技能型错误错误类型丢分错误失分率排序知识型错误错误内容丢分错误失分率排序下次考试增分计划审题错误计算错误抄写错误书写错误为明教育四川学区高2019级(高二下)期中考试数学试卷(理科)参考答案与评分1. C2. C解析：点关于平面的对称点的坐标横标和纵标不变,竖标变成原来坐标的相反数,点关于平面的对称点的坐标是,故选C.3. C解析：函数在处存在导数，故选：C4. A5. C解析：由题图知，当和时，有正有负，故不单调，A,B错误；当时，所以在上，是增函数，C正确；当时，所以在上，是减函数，D错误.6. A解析：.7. A解析：由题意得因此的通
6、项公式可以是.8.A9. C解析：以D为坐标原点, 为轴建立空间直角坐标系,则所以: 因为: ,所以异面直线与所成角的余弦值为,选C.10. D解析：以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,则设平面的一个法向量为,则.即令,得.又,点到平面的距离,故选D.11. C12. D解析：，在有且仅有5个零点,，正确为极大值点为3个，正确；极小值点为2个或3个不正确当时，当时，正确，故选D13.解析：故答案为14. 115.解析：由题意，得.因为向量与垂直，所以，解得.16.解析：根据平均值函数的定义,若函数是上的平均值函数,则关于的方程在区间内有解,即关于的方程在区间内有解
7、;即关于的方程在区间内有解;因为函数在区间上当取得最大值,当x=1时取得最小值-3,所以函数在区间上的值域为,所以实数的取值范围是.所以答案应填:.17. (1).解:因为所以 .2分所以又因为所以曲线在点处的切线方程为即. .5分(2).因为函数的定义域为由得; .7分得. .9分所以函数的单调递减区间是单调递增区间为. .10分18.(1).，,. .3分(2).猜想:,.5分证明：当时，左边,右边,左边=右边，等式成立. .7分假设当时等式成立，即,则：即当时，猜想也成立. .10分根据、可知，猜想对任何都成立. .12分19.(1).证明:连接,连接,四棱锥的底面为菱形,为中点,又是中
8、点,在中,是中位线,又平面,而平面,平面 .4分(2).如图,取的中点,连接,为菱形,且,为正三角形,.设,且为等腰直角三角形,即,平面,且,. .7分如图,建立空间直角坐标系,以为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,则,设为平面的一个法向量,则即可取。 .8分设为平面的一个法向量,则即可取.9分于是. .10分所以平面与平面所成二面角的正弦值为. .12分20.（1）曲线，曲线联立：，解得：. .2分.4分所求交点的极坐标. .6分（2）设且，由已知，得. .9分点P的极坐标方程为. .12分21.(1). 证明:平面,平面,. 在正方形中,平面. ,平面. .4分(2).
9、由1可得平面平面,取的中点,取的中点,连接.,平面 .6分以分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则.设. .8分三点共线,设,.设与平面所成角为. 平面的一个法向量为. .9分,解得或 (舍去). .11分点为线段上靠近点的三等分点. .12分22. (1). 由已知得函数 的定义域为. 而,又函数在上是减函数. 在上恒成立. .2分当时,由当,即时,. ,即所以实数的最小值为. .4分(2)若,使成立,则有时,由1知当时,所以由此问题转化为:当时,. .6分当时,由1知,函数在上是减函数. 则,所以. .8分当时,由于在上是增函数所以,即此时若,即时,在恒成立,函数在上是增函数所以,不合题意; .9分若即时,而在上是增函数,且所以存在唯一的使且满足:当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;所以与矛盾,不合题意。综上,得实数 的取值范围是. .12分
