1、直线、平面垂直的判定及其性质一、基础梳理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的判定判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行2斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一平面内垂直于
2、它们交线的直线垂直于另一平面4三类证法(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.二、双基自测1下列条件中，能判定直线l平面的是(D)Al与平面内的两条直线垂直 Bl与平面内无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直 Dl与平面内任意一条直线垂直解析由
3、直线与平面垂直的定义，可知D正确2在空间中，下列命题正确的是(D)A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确3用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac；若a，b，则ab； 若a，b，则ab. 其中真命题的序号是(C)A B C D解析由公理4知是真命题在空间内ab，bc，直线a、c
4、的关系不确定，故是假命题由a，b，不能判定a、b的关系，故是假命题是直线与平面垂直的性质定理4设a、b、c表示三条不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(D)A.c B.bcC.c D.b解析由a，b可得b与的位置关系有：b，b，b与相交，所以D不正确5如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个答案4三、例题分析考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD.证明：AD平面PAC. 证明ADC45，且ADAC1. D
5、AC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，POAD，而ACPOO，AD平面PAC.【训练1】 如图，已知BD平面ABC，MC綉BD，ACBC，N是棱AB的中点求证：CNAD.证明BD平面ABC，CN平面ABC，BDCN.又ACBC，N是AB的中点CNAB.又BDABB，CN平面ABD.而AD平面ABD，CNAD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD.证明在ABD中，由于AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB
6、2.故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD.【训练2】 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M.证明A1B1平面B1C1CB，BM平面B1C1CB，A1B1BM，由已知易得B1M，又BM，B1B2，B1M2BM2B1B2，B1MBM.又A1B1B1MB1，BM平面A1B1M.而BM平面ABM，平面ABM平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别
7、是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD； (2)平面EFC平面BCD.证明(1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD. (2)在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.【训练3】 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE； (2)求证：CF平面BDE.
8、 证明(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEGG.所以CF平面BDE.考向四线面角【例4】如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB，且E为PB的
9、中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小 (1)证明四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)解设ACBDO，连接OE.由(1)知，AC平面PDB于点O，AEO为AE与平面PDB所成的角点O、E分别为DB、PB的中点，OEPD，且OEPD.又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO.在RtAOE中，OEPDABAO，AEO45.即AE与平面PDB所成的角为45.【训练4】如图，已知DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD
10、；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，PQ平面ACD，DC平面ACD，从而PQ平面ACD.(2)解如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC.因此CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，又PQEBDC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DPCQ，因此DP平面ABE，DAP为AD和平面ABE所成的角，在RtDPA中，AD，DP1，sinDAP.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.达标练习一、选择题1设l，m是两条不
11、同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(B)A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm2已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m.3若m、n为两条不同直线，、为两个不同平面，则以下命题正确的是(B)A若m，n，则mn B若mn，m，则nC若m，则m D若m，mn，则n解析m与n也可能异面或相交，故A错；由线面垂直的性质定理知B正确；对于C选项，直线m还有可能在平面内；对于D选项，n与的关系不确定4设，为不重合的平面，m，n为不重合的
12、直线，则下列命题正确的是(C)A若，n，mn，则m B若m，n，mn，则nC若n，n，m，则m D若m，n，mn，则解析由n，n，可知，又m，所以m，故C正确，选C.5已知三个不同的平面，下列命题正确的是(D)A若，两两相交，则有三条交线 B若，则C若，a，b，则ab D若，则解析A中三个平面两两相交，可以只有一条交线，A错；B中垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，B错；C中a与b可能平行，也可能垂直，C错；D正确二、填空题6已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题：若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则；若m，n，mn，则； 若m，n，则mn.其中正确的命题是_(填上所
13、有正确命题的序号)答案解析若m，n，mn，则或，相交，所以错误若m，n，mn，则或，相交，所以错误故填.7已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m(填所选条件的序号)答案解析若m，则m.8已知P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3个解析如图所示PAPC、PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC、PCAB.但AB不一定垂直于BC.三、解答题9若P为ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明平面PAC平面P
14、BC，作ADPC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD平面PBC，又BC平面PBC，则BCAD，又PA平面ABC，则BCPA，BC平面PAC.BCAC.10如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明(1)如图，连结AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，ANPC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPC.ANBN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又ABC
15、D，MNCD.(2)连结PM、MC，PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.11(2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.解(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)如图，连结BD.因为ABAD，BAD
16、60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.12如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PCD.解(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，CD平面PAD，CDPA.又PAPDAD，PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，PA平面PCD.又PA平面PAB，平面PAB平面PCD.
