1、四川省绵阳南山中学2020届高三数学下学期第四次诊断模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则集合=（ ）A. 1，2B. 1，2，3C. 0，1，2D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用补集的定义求得，然后利用交集的定义求解.【详解】因为集合，或，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）A. (-，3B. 2，3C. (2，3D. （2，3）【答案】C【解析】【分析】求出与，
2、然后利用是的充分不必要条件，列出关系式求解即可【详解】解：由，所以，又，因为是的充分不必要条件，所以，解得即故选：C【点睛】本题考查充要条件应用，分式不等式与一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题3.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当时，函数满足，得，画出，再根据对称性可得结果.【详解】当时，函数满足，得，画出函数的图象，如图中黑色的图象，函数与的图象关于轴对称，得到红色颜色的图象，故答案为B【点睛】两个函数图象的对称性：（1）函数的图象与的图象关于轴对称；（2）函数的图象与的图象关于轴对称；（3）函数的图象与的图象关于原
3、点对称.4.展开式的常数项为（ ）A. 120B. 160C. 200D. 240【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则求解【详解】由题意常数项为故选：B【点睛】本题考查三项式展开式中的项，解题时可用二项式定理，也可结合多项式乘法法则求解5.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：每个实数都大于的概率为，则3个实数都大于的概率为.本题选择C选项.6.下列说法正确的是（ ）A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命
4、题为真命题C. “在上恒成立”“在上恒成立”D. 命题“已知，若，则或”的逆否命题是真命题【答案】D【解析】【分析】由否定的定义判断A选项；举反例判断B，C选项；写出逆否命题即可判断D选项.【详解】对A项，命题“，”的否定是“，”，故A错误；对B项，命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为假命题，因为时，也只有一个零点，故B错误；对C项，当时，不等式在上恒成立，此时，故C错误；对D项，逆否命题为“已知，若且，则”，显然，逆否命题为真命题，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了写出原命题的逆否命题并判断真假，写出全称命题的否定，属于中档题.7.如图，在平行四边形中，若、分
5、别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以,，所以=.当时,取得最大值5;当时,取得最小值2,的取值范围是.本题选择C选项.8.已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a ()A. 3B. 2C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，若过点A时取得最大值4，则此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意考点：简单的线性规划【名师点睛】
6、本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误9.若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查
7、的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.10.已知数列，的前项和分别为，且，若恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. 49D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的通项公式，化简的表达式，利用裂项求和法求得，由此求得的最小值.【详解】当时，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，由于是单调递增数列，.故的最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.11.四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中
8、点，直线EF被球面所截得的线段长为2 ，则该球的表面积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】四棱锥PABCD中面ABCD，且ABCD 为正方形，球心为PC中点，因为 ，所以 ，选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解12.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析
9、】【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当时，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当 时，所以所以在上为增函数，则，当时，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，当时，；所以当时，为减函数，当时，为增函数，当时，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题
10、中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二.填空题13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则_【答案】1【解析】由题意得，解得答案：114.设是等差数列的前项和，若，则数列中的最大项是第_项.【答案】13【解析】【分析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求【详解】解：在等差数列中，由，得，则数列是递减
11、数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列从第14项起为负值，而为递增数列，数列的最大项是第13项故答案为：13【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前项和的应用，属于中档题15.已知函数满足对任意的都有成立，则 【答案】7【解析】【详解】设，则，因为，所以，,故答案为7.16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是_【答案】6【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【详解】解：设直线的方程为，点，直线与轴交点为联立
12、，可得，根据韦达定理得，即，位于轴的两侧，设点在轴的上方，则当且仅当，即时取等号故答案为：6【点睛】求解本题时，应考虑以下几个点：1、联立直线与抛物线方程，消或后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意一正，二定，三相等三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设.（）求的单调区间；（）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（）单调递增区间是；单调递减区间是（）面积的最大值为【解析】试题分析：（）首先利用二倍角公式化简函数
13、的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（）首先由结合（）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.18.在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示()求的值,并计算所抽
14、取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式：其中,【答案】（），；（）详见解析.【解析】【分析】()根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得； ()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得【详解】解：(),()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下：女生男生总计获奖不获奖总计因为,所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关”【点睛】本题主要考查独立性
15、检验，以及由频率分布直方图求平均数问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.如图，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面.（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.【答案】（1）见解析；（2）为上靠近点的处【解析】【分析】（1）在长方形中，为的中点，可得，则，由线面垂直的判定可得平面，则；（2）取中点，连接，则平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求得值可得的位置【详解】（1）证明：长方形中，为的中点，则.平面平面，平面平面，平面，平面，平面，；（2）取中点，连接，则平面，以为原点，建立如图所示空间直角
16、坐标系，则平面的一个法向量为，设，.设平面的一个法向量为，则，取，得.由，解得.为上靠近点的处.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题20.设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于两点，若直线垂直于轴时，有（1）求椭圆的方程；（2）设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）由离心率可得的关系，再由，结合隐含条件，求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的
17、方程为，与直线的方程联立，可得点的坐标，进一步得到的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得的坐标，则所在的直线方程可求，取，求得的坐标，得到，结合的面积为，即可求解实数的值，得到直线方程.试题解析：（1）设，因为所以有，又由得，且，得，因此椭圆的方程为：. （2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理， 解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故. 所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为或.点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质性质、直线与圆锥曲线的位置关系及直线方程的求解,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）
18、方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数，.（）当时，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）见解析；（）（）【解析】【详解】（） ，则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（）因为，所以，所以方程为.依题意， ， .于是与抛物线切于点，由得.所以 - （）设,则恒成立.易得（1）当时，因，所以此时在上单调递增.若，则当时满足条件，此
19、时；若，取且此时，所以不恒成立不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时， ”成立所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时， 从而，当时， 的最大值为.-【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值
20、(最值)，然后构建不等式求解.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（）写出曲线，的普通方程；（）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1）,（2）【解析】分析：（）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；（）直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求详解:（）即曲线的普通方程为，曲线的方程可化为即.（）曲线左焦点为直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（参数）
21、将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.所以.点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数a的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）以为分界点分段讨论解不等式（2）原不等式可化为，由绝对值不等式求得的最小值小于3，解得参数.【详解】当时，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即综上所述，原不等式的解集为或由，即，得，又，即，解得所以【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算
