1、2014-2015学年度第一学期高三级理科数期中考试试卷【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】第一部分选择题(共40分)【题文】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1若集合，且，则集合可能是（ ） A B C D 【知识点】交集的运
2、算.A1【答案】【解析】A 解析：因为，所以B是A的子集，所以集合可能是1,2，故选A。【思路点拨】先由已知条件得到B,再结合交集的定义即可。【题文】2下列说法正确的是（ ）A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”B命题“x0，x2x10”的否定是“x00，xx010”C命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为假命题D若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【知识点】命题真假的判断.A2【答案】【解析】D 解析：命题“若x21，则x1”的否命题为“若，则x1”，故A错误；命题“”的否定是“x0 0，xx01 0”，故B错误；命题“若xy，则sin xsin y”为
3、真命题，所以它的逆否命题为真命题，故C错误；若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故D正确；故选D。【思路点拨】利用命题间的关系依次判断即可。【题文】3已知数列为等差数列，公差，为其前n项和.若，则=（ ）A B C D【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质.D2【答案】【解析】B 解析：因为，所以，即，代入可解得=20，故选B。【思路点拨】先利用，解出，再利用等差数列的通项公式可求出。【题文】4将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） 【知识点】空间几何体的三视图.G2【答案】【解析】B 解析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段
4、，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线故选B【思路点拨】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【题文】5在中，已知,则的面积是（ ）A B C或 D 【知识点】正弦定理；三角形面积公式.C8【答案】【解析】C 解析：根据正弦定理：,即，解得或，则或，所以=或，故选C。【思路点拨】先利用正弦定理求出C,再得到A，然后利用三角形面积公式求出面积即可。【题文】6设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A B C D【知识点】导数的几何意义；两直线垂直的充要条件.B11 H2【答案】【解析】D 解析：因为
5、，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，又因为切线与直线垂直，所以，解得，故选D。【思路点拨】先对原函数求导，求出斜率，再结合两直线垂直的充要条件可求得a的值。【题文】7在中，点在上，且，点是的中点，若，则（ ）A B C D【知识点】平面向量的线性运算.F1【答案】【解析】B 解析：根据题意画出图形如下：,即，解得，则，故选B。【思路点拨】先利用平行四边形法则求出向量，再利用可得结果。【题文】8已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（）A B CD 【知识点】根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式B9 D2【答案】【解析】B 解析：当x（-，0时，由g（
6、x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x=x+1令y=2x，y=x+1在同一个坐标系内作出两函数在区间（-，0上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0当x（0，1时，x-1（-1，0，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-1，由g（x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x-1=x令y=2x-1，y=x在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1当x（1，2时，x-1（0，1，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2x-2+1-x=0，得2x-2=
7、x-1令y=2x-2，y=x-1在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2依此类推，当x（2，3，x（3，4，x（n，n+1时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，x=n+1故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，n+1其对应的数列的通项公式为an=n-1故选B【思路点拨】根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解【题文】第二部分非选择题(共 110分)【题文】二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共
8、30分）（一）必做题（9 13题）【题文】9已知复数（其中，是虚数单位），则的值为 【知识点】复数相等的条件.L4【答案】【解析】2 解析：=，所以，则，故答案为2.【思路点拨】先利用复数相等的条件求出，再得到即可。【题文】10若，则常数T的值为_【知识点】定积分.B13【答案】【解析】3 解析：因为，解得，故答案为3.【思路点拨】 先由题意得到,再解出T的值即可。【题文】11设满足约束条件,则的最大值是 【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】5 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示做直线L：2x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知当直线过点A时，z最大，由可得A（2，1
9、），即当x=2，y=1时，zmax=5故答案为：5【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可【题文】12已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则 【知识点】二项式系数的性质I3【答案】【解析】10 解析：根据题意，的展开式为，又有其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得，即，解可得，故答案为10.【思路点拨】根据题意，首先写出的展开式，进而根据其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得，化简并解可得n的值。【题文】13如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆
10、E ：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于 【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】 解析：AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，BCOA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，B、C两点是关于Y轴对称的由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设代入椭圆方程解得：设D为椭圆的右顶点，因为OAB=30，四边形OABC为平行四边形，所以COD=30对C点：，解得：a=3b，根据：得：，故答案为：【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到
11、BC=OA=a；设，从而求出|y|，然后由OAB=COD=30，利用，求得a=3b，最后根据得出离心率【题文】（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）【题文】14在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为_【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式N3【答案】【解析】 解析：由得，代入得，解得或（舍），所以曲线与的公共点到极点的距离为，故答案为：【思路点拨】联立与消掉即可求得，即为答案【题文】15如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,若与圆相切, 则线段的长为 【知识点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明N1【答案】【解析】 解析：，可设AF=4k
12、，BF=2k，BE=k0由相交弦定理可得：，解得,根据切割线定理可得：，解得故答案为。【思路点拨】利用相交弦定理和切割线定理即可得出【题文】三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】16（本小题满分13分）已知函数（）用五点作图法列表，作出函数在上的图象简图（）若，求的值【知识点】二倍角公式；函数的图像及性质.C4 C5 C6 C7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）= （）【思路点拨】（）先利用三角公式对原函数化简，然后列表再化出图像；（）先由原函数求出，再利用二倍角公式结合两角差的正弦公式即可。【题文】17（本小题满分14分）在三棱柱A
13、BCA1B1C1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：()证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】()连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，则E为所求可以证出OEBB1，BCOE而得以证明在RT中，利用直角三角形射影
14、定理得出EO()如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值【题文】18（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（）随机变量的概率分布和数学期望；【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差K4 K5 K6【答案】【解析】（）；（） 解析：() 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件
15、记为A,一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，则事件A和B是对立事件。, 答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.5分（2）由题意, 所以随机变量的概率分布列为2345P14分【思路点拨】（）根据题意，一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，易得事件A和事件B是互斥事件，易得事件B的概率，由互斥事件的意义，可得答案，（）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，分别计算其取不同数值时的概率，列出分步列，进而计算可得答案【题文】19（本小题满分12分）已知，点在函数的图像上，其中（）证明：数列是等比数列；（）设，求（）记，求数
16、列的前项和【知识点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和D1 D4【答案】【解析】（）见解析；（）（） 解析：（）由已知， ，两边取对数得，即 是公比为2的等比数列.（）由（）知（1）=（）由（1）式得 又 【思路点拨】（）把点的坐标代入函数解析式，两边同加1后取常用对数可得数列bn的递推式，由等比数列的定义可得结论；（）由（）求出bn，进而得到cn，利用错位相减法可得Sn；（）由，得，取倒数可得到，由此可求得an+1；【题文】20（本小题满分13分）已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（）求椭圆的方程；（）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点
17、（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程H5 H8【答案】【解析】（）；（）圆上存在两个不同点，满足 解析：（1）因为直线的方程为，令，得，即 1分 ，又， ， 椭圆的方程为.分（2）存在点P，满足 圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为.分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则， 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。 分故有，即圆与圆相交，有两个公共点。圆上存在两个不同点，满足.分【思路点拨】（）由a2=b2+c2，及F1的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得a2，b2，从而得椭圆方程；（）根据弦长，利用垂
18、径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C2的方程联系，再探求点P的存在性【题文】21（本小题满分14分）设函数.（）当时，判断函数的单调性，并加以证明；（）当时，求证：对一切恒成立；（）若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】【解析】（）函数在上是单调减函数，证明见解析；（）见解析；（）见解析. 解析：（）当时，所以函数在上是单调减函数（）当时，令，则所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数所以当时，函数取得最小值，最小值为所以恒成立（） ，令，得，所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数所以，而是与无关的常数，所以的极小值是一个与无关的常数.【思路点拨】（）求出函数的导函数，判断出导函数小于等于0，判断出函数单调性（）求出导函数，令导函数为0，求出根，判断出根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值的符号得证（） 求出导函数，令导函数为0，求出根，判断根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值是与a无关的常数
