1、第二章 函数概念与基本初等函数第七讲函数与方程练好题考点自测1.下列说法正确的是()A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0C.二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac0时没有零点D.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根2.2019全国卷,5分函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2上的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.53.2020天津,5分已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.(-,-)(2,+) B.(-
2、,-)(0,2)C.(-,0)(0,2) D.(-,0)(2,+)4.2021河北六校第一次联考函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.5.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,(1)验证f(2)f(4)0,给定精确度=0.01;(2)取区间(2,4)的中点x1=3;(3)计算得f(2)f(3)0时,由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|,当x0时,由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|,令(x)=(x)=|kx-2|(x0),则函数y=(x)与y=(x)的图象有3个交点.若k0,如图D 2-7-1所示,函数y=(x)与y=(x)
3、的图象有3个交点,所以k0,如图D 2-7-2所示,需证当x时,函数y=(x)与y=(x)的图象有2个交点.当x时,(x)=x2,(x)=kx-2,令(x)=(x),则x2-kx+2=0,因为x2-kx+2=0有两个不同实根,所以0,即k2-80,解得k2.综上,当k2时,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点. 图D 2-7-1图D 2-7-24.(0,3)由已知知函数f(x)在(1,2)上单调递增,则由f(x)的一个零点在区间(1,2)内,知f(1)f(2)0,即(21-a)(22-a)=(-a)(3-a)=a(a-3)0,解得0a3.5.(2,3)因为f(2)f(4)0,所
4、以由二分法可知函数在区间(2,4)上必存在零点,又f(2)f(3)-1,函数f(x)的零点个数即为函数y1=sin 2x(x-1)与y2=|ln(x+1)|(x-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图D 2-7-3,可知有2个交点,则 f(x)有2个零点.图D 2-7-32.(1)D依题意知x2-acos x+a2+3a-8=0有唯一解,即x2+a2+3a-8=acos x有唯一解,也即函数y=x2+a2+3a-8与函数y=acos x的图象有唯一公共点.因为函数y=x2+a2+3a-8是偶函数,其图象开口向上,且关于y轴对称,函数y=acos x是偶函数,其图象关于y轴对称,所以
5、两个函数图象唯一公共点的横坐标为0,(题眼)对应的纵坐标相等,即a2+3a-8=a,解得a=2或a=-4.当a=2时,y=x2+2的图象开口向上,顶点为(0,2),y=2cos x的图象过点(0,2),且点(0,2)为图象的最高点,所以此时两个函数只有一个公共点,符合题意.当a=-4时,f(x)=x2+4cos x-4,f(0)=0+4cos 0-4=0,f()=-40,所以函数f(x)在区间(,)上也存在零点,不符合题意.综上所述,a的值为2.故选D.图D 2-7-4(2)D作出函数f(x)的大致图象如图D 2-7-4中实线所示,不妨设abc,则b,c为关于x的方程-x2+2x-m=0的两根
6、,所以b+c=2.因为方程f(x)=m(mR)恰有三个不同的实数根,所以0m1,则0(a+1)1,解得-a0,所以a+b+c2,即a+b+c的取值范围是(,2).故选D.3.B由2f(x)2-3f(x)-2=0,解得f(x)=-或f(x)=2.注意到当x0时,f(x)=ex的值域是(0,1),因此关于x的方程f(x)=-与f(x)=2均没有负实数解.解法一当x0时,f(x)=6x3-9x2+1,则f (x)=18x2-18x=18x(x-1).当x(0,1)时,f (x)0.图D 2-7-5因此函数f(x)=6x3-9x2+1在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增,且f(0)=
7、1,f(1)=-2,当x+时,f(x)+,作出函数f(x)在0,+)上的图象,如图D 2-7-5中的实线所示.结合图象可知,直线y=-与曲线y=6x3-9x2+1(x0)有两个不同的交点,即关于x的方程f(x)=-有两个不相等的正根x1,x2,直线y=2与曲线y=6x3-9x2+1(x0)有唯一交点,即关于x的方程f(x)=2有唯一的正根x3.x1,x2,x3两两不等.综上,g(x)的零点个数为3,故选B.解法二当x0时,由6x3-9x2+1=-,得4x3-6x2+1=0.记m(x)=4x3-6x2+1(x0),求导得m(x)=12x2-12x=12x(x-1).由m(x)0,得0x0,得x1
8、.可知m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,且m(0)=10,m(1)=-10,当x+时,m(x)+,由函数零点存在定理可知,m(x)在(0,1),(1,+)上各存在一个零点.由6x3-9x2+1=2,得6x3-9x2-1=0.记h(x)=6x3-9x2-1(x0),求导得h(x)=18x2-18x=18x(x-1).由h(x)0,得0x0,得x1.可知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,且h(0)=-10,当x+时,h(x)+,由函数零点存在定理可知,h(x)在(0,+)上存在唯一的零点.综上所述,g(x)=2f(x)2-3f(x)-2的零点个数为3,故选B.
