1、广东省广州市越秀区培正中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一选择题（共12小题）1.已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由共轭复数的概念，求得，进而得到复数的虚部.【详解】由题意，复数，则，所以共轭复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键.2.已知函数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求导，再求，再化简得解详解：由题得，.因为=，=1故选A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.3.
2、已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=( )A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】由题意得，所以选D4.若函数f（x）满足，则的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先求出 ，令，计算求出.【详解】计算得，把代入，得，故选：A【点睛】本题考查导数公式的应用及函数值求解，属于基础题5.函数的单调递增区间是（ ）A. （-,e）B. （1,e）C. （e,+）D. （e-l,+）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，令，解得，函数的单调递增区间是（e-l,+）.考点：导数在函数单调性中的应用.6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能
3、的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论.【详解】根据的图象可知，当或时，所以函数在区间和上单调递增；当时，所以函数区间上单调递减，由此可知函数在和处取得极值，并且在处取得极大值，在处取得极小值，所以的图象最有可能的是C.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反.7.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为
4、的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为考点：二项式系数，二项式系数和8. 工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为A. 140B. 100C. 80D. 70【答案】D【解析】【分析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数.【详解】2男1女：;1男2女：;所以共有，选D.【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）A. B. 2C. 2或D. 2或【答案】A【解析】【分析】根据函数的极值点以及极值，计算，可得，
5、最后可得结果.【详解】由题可知：所以即可得或当时，可知令，所以或令，所以函数在递增，在递减所以可知函数在处取极小值，故不符合题意所以，所以故选：A【点睛】本题考根据函数的极值点以及极值求参，重在于理解和计算，属基础题.10.由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用表示“第二位数字为0”的事件，用表示“第一位数字为0”的事件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件概率计算公式计算，计算出和后即可得【详解】.故选：B.【点睛】本题考查条件概率，求条件概率可通过公式计算，也可通过求出样本空间中基本事件的个数，以及样本空间中含有样本点的基本事件的个数，由公式计算11.
6、某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(3)()A. B. C. D. 【答案】C【解析】3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是，本题选择C选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.12.已知奇函数和其导函数的定义域均为，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可构造函数， ，可得在为减函数，再根据为奇函数，可得为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】令，当时，所以函数是上的减函数.是奇函数，是偶函数，由不等
7、式，得，所以，得.即.故选：B【点睛】本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.二填空题（共4小题）13.某班甲，乙，丙的三名同学竞选班委，甲当选的概率，乙当选的概率为，丙当选项的概率为，则至多两人当选的概率为 .【答案】【解析】【分析】先求出三个人都当选的概率，再用1减去此概率，即得所求【详解】由于三个人都当选的概率为， 故至多有两人当选的概率为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，属基础题.14.正弦曲线上一点，正弦曲线以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是_.【答案】【解析】【分析】
8、由可得，直线的斜率为，即可求出答案.【详解】由可得，切线为直线的斜率为：设直线的倾斜角，则且.所以故答案为：【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.15.若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_.【答案】【解析】【分析】因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解【详解】因为f（x）定义域为（0，+），又f(x)=4x-，由f（x）=0，得x=1/2当x（0，1/2）时，f（x）0，当x（1/2，+）时，f（x）0据题意，k-11/2k+1，又k-10，解得1k3/2.16.设函数，函数，若对于任意的
9、，总存在，使得，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.三解答题（共6小题）17.复数.（）实数m为何值时，复数z为纯虚数
10、； （）若m=2，计算复数【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得；(2)利用复数的运算法则计算可得.试题解析：（1）欲使z为纯虚数，则须且，所以得 （2）当m=2时，z=2+,=2-,故所求式子等于=18.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分
11、布列和期望【答案】（1）；（2）见解析，121.5万元【解析】【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P（A）；（2）由题可得设企业可获得利润为，则的取值有90，50，80，220利用相互独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，列出分布列，算出期望即可.【详解】解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，则P（A）（1）（1）；（2）由题可得设企业可获得利润为，则的取值有90，50，80，220由独立试验的概率计算公式可得，P（0）（1）（1），P（50），P（80），P（220），的分布列如下：905080220P则数学期望E
12、（）50220121.5万元【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与均值的计算，考查了学生的运算求解能力.19.已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求；(2)求含的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【答案】（1）（2）（3），.【解析】【分析】（1）化简二项式展开式的通项公式，根据第项为常数项，求出的值.（2）根据（1）中二项式展开式的通项公式，求得含项的系数.（3）根据（1）中二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有的有理项.【详解】解：(1).第6项为常数项，时有，.(2)令，得，所求的系数为.(3)根据通项公式，由题意得：，令，则，即.，应为偶数，可取2，0，-2，第3项、第6
13、项与第9项为有理项它们分别为，.所以有理项为，.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.20.用长为 ，宽为 长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 ，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【答案】见解析【解析】分析：设容器的高为，得容器的容积为与之间的关系，是关于的三次函数，求导，利用函数的单调性求出函数的最值.详解：设容器的高为 ，容器的体积为 ， ， 由 得 ，（舍）又当 时，当 时， 所以当 时， 有极大值 所以当 时， 有最大值 答：当容器高为 时，容器的容积最
14、大，最大容积为 点睛：该题考查的是有关应用题，在解题的过程中，需要对题中的条件，认真分析，找到变量之间的关系式，建立起对应的函数关系式，利用导数研究函数图像的走向，从而求得结果.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.（2）时， ，令，求函数的最小值为，得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，若，则，所以在上单调递增；若，令，则，当）时，单调递减；当时，单调递增；综上所述，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，即，令，则，令，则，当时，
15、单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.22.已知函数（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；（2）当0a1时，求零点的个数.【答案】（1）1；（2）两个【解析】【分析】(1) 函数在x=1时取得极值，得，解得，时，求单调区间，验证在x=1时取得极值 （2），由，得减区间为，增区间为，其极小值为，函数在上有且仅有一个零点，根据，令，得，又因为，所以，所以当时，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.【详解】解：(1)定义域为，由已知，得，解得，当时，所以，所以减区间为，增区间为，所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以(2)令，由，得所以，所以减区间为，增区间为，所以函数在时取得极小值，其极小值为，因为，所以，所以，所以，因为，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，因为，令，得，又因为，所以，所以当时，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，所以，当时，有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.
