1、第节导数在研究函数中的应用 【选题明细表】知识点、方法题号函数的单调性与导数1、7、10函数的极值与导数2、3、5函数的最值与导数6、9综合应用4、8、11一、选择题1.(2012厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0) (B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y0x2+2x-30-3x0,且开口向下,所以a0,所以f(-1)=2a-b0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-0,b2a,所以f(-1)=2a-b0,这与图象矛盾,故选D.3.(2012年高考大
2、纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于(A)(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1解析:y=3(x+1)(x-1),当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.4.(2012福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项
3、是不符合要求的,即f(x)的图象不可能是D.5.(2012年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是(C)解析:f(x)在x=-2处取得极小值,当x-2时,f(x)单调递减,即f(x)-2时,f(x)单调递增,即f(x)0.当x0;当x=-2时,y=xf(x)=0;当-2x0时,y=xf(x)0时,y=xf(x)0,结合图象知选C.6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是(A)(A)-13(B)-15(C)10(D)15解析:求导得f(x)
4、=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f(2)=0,即-34+2a2=0,a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,易知f(x)在-1,0)上单调递减,在(0,1上单调递增,当m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.又f(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,当n-1,1时,f(n)min=f(-1)=-9.故f(m)+f(n)的最小值为-13.故选A.二、填空题7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+)的单调函数f(x)对任意的x(0,+)都有ff(x)-log2x=6.若x0是方程f(x)-f(x)=4的一
5、个解,且x0(a,a+1)(aN*),则a=.解析:根据已知f(x)在(0,+)上是单调函数,又对任意的x(0,+)都有ff(x)-log2x=6,得f(x)-log2x必为常数,记为C,即f(x)-log2x=C.令x=C,f(C)-log2C=C,而f(C)=6,易知C=4,所以f(x)=4+log2x,f(x)=.又因为f(1)=4,f(1)=0,f(2)=5,f(2)=1,所以f(1)-f(1)4,根据零点存在性定理知,方程f(x)-f(x)=4在(1,2)内必有一个解.又由于f(x)-f(x)是一个增函数,故方程f(x)-f(x)=4在(1,2)内只有一个解.因此a=1.答案:18.
6、(2012广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(aR),若对于任意x-1,1,都有f(x)0成立,则实数a的值为.解析:由题意得f(x)=3ax2-3,当a1时,在-1,1上恒有f(x)=3ax2-30,f(x)在-1,1上为减函数,f(x)最小值=f(1)=a-20,解之得a2(与条件a1矛盾),不符合题意;当a1时,令f(x)=0可得x=,当x时,f(x)0,f(x)为增函数.x=为极值点,要使f(x)0成立,只需即a=4.答案:4三、解答题9.已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x时,f(x)-1),f(x)=(1+x)-=(x-
7、1),-1x0时,f(x)0时,f(x)0,函数f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+).(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在(0,e-1)上单调递增.又f=+1,f(e-1)=e2-1+1,f(x)e2-1,又f(x)e2-1.10.(2012石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数f(x)=aln x-2ax+3(a0).(1)设a=-1,求函数f(x)的极值;(2)在(1)的条件下,若函数g(x)=x3+x2f(x)+m.(其中f(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.解:(1)当a=-1,f(x)=-ln x+2x+3(x
8、0),f(x)=-+2,函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.函数f(x)的极小值是f=-ln +2+3=ln 2+4,无极大值.(2)g(x)=x3+x2,g(x)=x2+(4+2m)x-1,g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g(0)=-1,即-m0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间,2上的最值;(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.解:(1)f(x)=ax2-3x+ln x,f(x)=2ax-3+,又f(1)=0,2a-2=0,a=1,f(x)=x2-3x+ln x,f(x)=2x-3+,令f(x)=0,即2x-3+=0,解得x=或x=1.列表如下:x1(1,2)2f(x)-0+f(x)-ln 2减-2增-2+ln 2当x=1时,f(x)min=-2;f(2)-f=-2+ln 2+ln 2=ln 4-1-0,当x=2时,f(x)max=-2+ln 2.(2)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2ax-3+=,令=9-8a.当a时,0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上是增函数,当0a0,方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,不妨设x10,当x(x1,x2)时,f(x)0,这时,函数f(x)在定义域内不是单调函数.综上,a的取值范围是.
