1、课时分层作业(十八)函数的最大(小)值与导数(建议用时:40分钟)一、选择题1已知函数f (x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f (x)g(x),则f (x)g(x)的最大值为()Af (a)g(a)Bf (b)g(b)Cf (a)g(b)Df (b)g(a)A令F (x)f (x)g(x),则F (x)f (x)g(x),又f (x)g(x),故F (x)0,F (x)在a,b上单调递减,F (x)maxF (a)f (a)g(a)2已知函数f (x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm的值为()A16 B12C32D6Cf (x)3x2123(
2、x2)(x2),由f (3)17,f (3)1,f (2)24,f (2)8,可知Mm24(8)32.3已知f (x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3,那么此函数在2,2上的最小值为()A0B5C10D37D因为f (x)2x36x2m,所以f (x)6x212x6x(x2),可以得到函数在2,0上是增函数,在0,2上是减函数,所以当x0时,f (x)m为最大值,所以m3,即f (x)2x36x23,所以f (2)2(8)64337,f (2)5,所以最小值是37,故选D.4函数f (x)x33x在区间(2,m)上有最大值,则m的取值范围是()A(1,)B(1,1C(1,2)D
3、(1,2D由于f (x)3x233(x1)(x1),故函数在(,1)和(1,)上递增,在(1,1)上递减,f (1)f (2)2,画出函数图象如图所示,由于函数在区间(2,m)上有最大值,根据图象可知m(xB,xA,即m(1,2,故选D.5若函数f (x)2x36x23a对任意的x(2,2)都有f (x)0,则a的取值范围为()A(,3)B(2,)C3,)D(0,3)Cf (x)2x36x23a,f (x)6x212x6x(x2),令f (x)0,得x0,或x2.在(2,0)上f (x)0,f (x)单调递增;在(0,2)上f (x)0,f (x)单调递减,所以f (x)maxf (0)3a.
4、因为对任意的x(2,2)都有f (x)0,所以f (x)max3a0,得a3.故选C.二、填空题6函数f (x)xln x在区间(0,e上的最小值为_1f (x)1,令f (x)0,得x1.当x(0,1)时,f (x)0;当x(1,e时,f (x)0,当x1时,f (x)有极小值,也是最小值,最小值为f (1)1.7若函数f (x)(a0)在1,)上的最大值为,则a的值为_1f (x).令f (x)0,得x(x舍去),若x时,f (x)取最大值,则f (x)max,1,不符合题意;若f (x)maxf (1),则a1,符合题意8已知函数f (x)ex2xa有零点,则a的取值范围是_(,2ln
5、22函数f (x)ex2xa有零点,即方程ex2xa0有实根,即函数g(x)2xex,ya有交点,而g(x)2ex,易知函数g(x)2xex在(,ln 2)上递增,在(ln 2,)上递减,因而g(x)2xex的值域为(,2ln 22,所以要使函数g(x)2xex,ya有交点,只需a2ln 22即可三、解答题9已知函数f (x)x33ax2,曲线yf (x)在x1处的切线方程为3xym0.(1)求实数a,m的值;(2)求f (x)在区间1,2上的最值解(1)f (x)3x23a,曲线f (x)x33ax2在x1处的切线方程为3xym0,解得a2,m0.(2)由(1)知,f (x)x36x2,则f
6、 (x)3x26,令f (x)0,解得x,f (x)在1,)上单调递减,在(,2上单调递增,又f (1)1623,f (2)236222,f ()()36224,f (x)在区间1,2上的最大值为2,最小值为24.10已知函数f (x)x33x29xa.(1)求f (x)的单调递减区间;(2)若f (x)2 020对于x2,2恒成立,求a的取值范围解(1)f (x)3x26x9.由f (x)0,得x3,所以函数f (x)的单调递减区间为(,1),(3,)(2)由f (x)0,2x2,得x1.因为f (2)2a,f (2)22a,f (1)5a,故当2x2时,f (x)min5a.要使f (x)
7、2 020对于x2,2恒成立,只需f (x)min5a2 020,解得a2 025.11(多选题)若函数f (x)3xx3在区间(a212,a)上有最小值,则实数a的可能取值是()A0B1C2D3ABC由f (x)33x20,得x1.当x变化时,f (x)及f (x)的变化情况如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)00f (x)22由此得a2121a,解得1a.又当x(1,)时,f (x)单调递减,且当x2时,f (x)2.a2.综上,1a2.故选ABC.12(多选题)设函数f (x),则下列说法正确的是()Ax(0,1)时,f (x)图象位于x轴下方Bf (x)存在单调递增区间C
8、f (x)有且仅有两个极值点Df (x)在区间(1,2)上有最大值AB由f (x),当x(0,1)时,ln x0,f (x)0,所以f (x)在(0,1)上的图象都在x轴的下方,所以A正确;因为f (x)0在定义域上有解,所以函数f (x)存在单调递增区间,所以B是正确的;由g(x)ln x,则g(x)(x0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,则函数f (x)0只有一个根x0,使得f (x0)0,当x(0,x0)时,f (x)0,函数单调递减,当x(x0,)时,函数单调递增,所以函数只有一个极小值,所以C不正确;由g(x)ln x,则g(x)(x0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增
9、,且g(1)10,g(2)ln 20,所以函数在(1,2)先减后增,没有最大值,所以D不正确,故选AB.13(一题两空)已知函数f (x)2x2ln x若f (x0)3,则x0_,若在其定义域的一个子区间(k1,k1)内存在最小值,则实数k的取值范围是_1函数f (x)2x2ln x,x(0,),f (x)4x,由f (x0)3,x00,解得x01.令f (x)0得x,当0x时,f (x)0,当x时,f (x)0,所以当x时,f (x)取得极小值,由题意可知:解得1k,实数k的取值范围是:1k,即k.14已知函数f (x)x3x26xa,若x01,4,使f (x0)2a成立,则实数a的取值范围
10、是_f (x0)2a,即xx6x0a2a,可化为xx6x0a,设g(x)x3x26x,则g(x)3x29x63(x1)(x2)0,得x1或x2.g(1),g(2)2,g(1),g(4)16.由题意,g(x)minag(x)max,a16.15已知函数f (x)aexln x1.(1)设x2是f (x)的极值点,求a,并求f (x)的单调区间;(2)证明:当a时,f (x)0.解(1)f (x)的定义域为(0,),f (x)aex.由题设知,f (2)0,所以a.从而f (x)exln x1,f (x)ex.当0x2时,f (x)2时,f (x)0.所以f (x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增(2)证明:当a时,f (x)ln x1.设g(x)ln x1,则g(x).当0x1时,g(x)1时,g(x)0,所以x1是g(x)的最小值点故当x0时,g(x)g(1)0.因此,当a时,f (x)0.