1、课时分层作业(十八)函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1已知函数f (x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f (x)g(x)，则f (x)g(x)的最大值为()Af (a)g(a)Bf (b)g(b)Cf (a)g(b)Df (b)g(a)A令F (x)f (x)g(x)，则F (x)f (x)g(x)，又f (x)g(x)，故F (x)0，F (x)在a，b上单调递减，F (x)maxF (a)f (a)g(a)2已知函数f (x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm的值为()A16 B12C32D6Cf (x)3x2123(
2、x2)(x2)，由f (3)17，f (3)1，f (2)24，f (2)8，可知Mm24(8)32.3已知f (x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值为3，那么此函数在2，2上的最小值为()A0B5C10D37D因为f (x)2x36x2m，所以f (x)6x212x6x(x2)，可以得到函数在2，0上是增函数，在0，2上是减函数，所以当x0时，f (x)m为最大值，所以m3，即f (x)2x36x23，所以f (2)2(8)64337，f (2)5，所以最小值是37，故选D.4函数f (x)x33x在区间(2，m)上有最大值，则m的取值范围是()A(1，)B(1，1C(1，2)D
3、(1，2D由于f (x)3x233(x1)(x1)，故函数在(，1)和(1，)上递增，在(1，1)上递减，f (1)f (2)2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(2，m)上有最大值，根据图象可知m(xB，xA，即m(1，2，故选D.5若函数f (x)2x36x23a对任意的x(2，2)都有f (x)0，则a的取值范围为()A(，3)B(2，)C3，)D(0，3)Cf (x)2x36x23a，f (x)6x212x6x(x2)，令f (x)0，得x0，或x2.在(2，0)上f (x)0，f (x)单调递增；在(0，2)上f (x)0，f (x)单调递减，所以f (x)maxf (0)3a.
4、因为对任意的x(2，2)都有f (x)0，所以f (x)max3a0，得a3.故选C.二、填空题6函数f (x)xln x在区间(0，e上的最小值为_1f (x)1，令f (x)0，得x1.当x(0，1)时，f (x)0；当x(1，e时，f (x)0，当x1时，f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)1.7若函数f (x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f (x).令f (x)0，得x(x舍去)，若x时，f (x)取最大值，则f (x)max，1，不符合题意；若f (x)maxf (1)，则a1，符合题意8已知函数f (x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_(，2ln
5、22函数f (x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可三、解答题9已知函数f (x)x33ax2，曲线yf (x)在x1处的切线方程为3xym0.(1)求实数a，m的值；(2)求f (x)在区间1，2上的最值解(1)f (x)3x23a，曲线f (x)x33ax2在x1处的切线方程为3xym0，解得a2，m0.(2)由(1)知，f (x)x36x2，则f
6、 (x)3x26，令f (x)0，解得x，f (x)在1，)上单调递减，在(，2上单调递增，又f (1)1623，f (2)236222，f ()()36224，f (x)在区间1，2上的最大值为2，最小值为24.10已知函数f (x)x33x29xa.(1)求f (x)的单调递减区间；(2)若f (x)2 020对于x2，2恒成立，求a的取值范围解(1)f (x)3x26x9.由f (x)0，得x3，所以函数f (x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)由f (x)0，2x2，得x1.因为f (2)2a，f (2)22a，f (1)5a，故当2x2时，f (x)min5a.要使f (x)
7、2 020对于x2，2恒成立，只需f (x)min5a2 020，解得a2 025.11(多选题)若函数f (x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的可能取值是()A0B1C2D3ABC由f (x)33x20，得x1.当x变化时，f (x)及f (x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f (x)00f (x)22由此得a2121a，解得1a.又当x(1，)时，f (x)单调递减，且当x2时，f (x)2.a2.综上，1a2.故选ABC.12(多选题)设函数f (x)，则下列说法正确的是()Ax(0，1)时，f (x)图象位于x轴下方Bf (x)存在单调递增区间C
8、f (x)有且仅有两个极值点Df (x)在区间(1，2)上有最大值AB由f (x)，当x(0，1)时，ln x0，f (x)0，所以f (x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；因为f (x)0在定义域上有解，所以函数f (x)存在单调递增区间，所以B是正确的；由g(x)ln x，则g(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增，则函数f (x)0只有一个根x0，使得f (x0)0，当x(0，x0)时，f (x)0，函数单调递减，当x(x0，)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；由g(x)ln x，则g(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增
9、，且g(1)10，g(2)ln 20，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB.13(一题两空)已知函数f (x)2x2ln x若f (x0)3，则x0_，若在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_1函数f (x)2x2ln x，x(0，)，f (x)4x，由f (x0)3，x00，解得x01.令f (x)0得x，当0x时，f (x)0，当x时，f (x)0，所以当x时，f (x)取得极小值，由题意可知：解得1k，实数k的取值范围是：1k，即k.14已知函数f (x)x3x26xa，若x01，4，使f (x0)2a成立，则实数a的取值范围
10、是_f (x0)2a，即xx6x0a2a，可化为xx6x0a，设g(x)x3x26x，则g(x)3x29x63(x1)(x2)0，得x1或x2.g(1)，g(2)2，g(1)，g(4)16.由题意，g(x)minag(x)max，a16.15已知函数f (x)aexln x1.(1)设x2是f (x)的极值点，求a，并求f (x)的单调区间；(2)证明：当a时，f (x)0.解(1)f (x)的定义域为(0，)，f (x)aex.由题设知，f (2)0，所以a.从而f (x)exln x1，f (x)ex.当0x2时，f (x)2时，f (x)0.所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f (x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f (x)0.