1、9. 2.3向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念(易错点)2.理解平面向量数量积的含义(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过数量积的应用，培养数学运算素养.一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W|F|s|cos ，为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的
2、数量积为0.思考1：两个向量的数量积是向量吗？提示：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？提示：数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定2两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB称为向量a与b的夹角(2)范围：0180.(3)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(4)当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.(5)两个非零向量a和b的夹角，可以由cos 求得思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？提示：角3向量a在向量b上的投影向量设a，b是两个非零向量，如图
3、，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量(1)(2)所以 (|a|cos )，abb投影向量与向量数量积的关系：向量a与向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积4向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.(2)数量积的性质：aa|a|2或|a|；|ab|a|b|；当且仅当向量a，b为共线向量时取“”号abab0.(向量a，b均为非零向量)思考4：向量的数量积运算结果和
4、向量的线性运算的结果有什么区别？提示：向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量1已知|a|3，|b|6，则(1)若a与b夹角为0，则ab_；(2)若a与b的夹角为60，则ab_；(3)若a与b的夹角为90，则ab_.(1)18(2)9(3)0(1)ab|a|b|cos 0|a|b|18.(2)ab|a|b|cos 60369.(3)ab|a|b|cos 903600.2试指出图中向量的夹角，图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_答案01803已知|a|3，|b|5，a与b的夹角为45，则a在b上的投影向量为_；b与a上的投影向量为_b aa在b上的
5、投影向量为(|a|cos )(3cos 45)b；b在a投影向量为(|b|cos )(5cos 45)a.向量数量积的运算【例1】已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)思路点拨借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)解(1)ab|a|b|cos 120233；(2)a2b2|a|2|b|2495；(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734.1求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .要特别注意书写时，
6、a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简跟进训练1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60，|cos 6011；(2)与的夹角为120，|cos 12011；(3)与的夹角为60，|cos 6011.求向量的模【例2】已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.思路点拨根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解解ab|a|b|cosAOB448，|ab|4，|ab|4，|3ab|4.1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量
7、积联系，要灵活应用aa|a|2，勿忘记开方2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等跟进训练2已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45，且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)，故|b|.求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角思路点拨解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个
8、等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 求得夹角解由已知，得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减，得2abb2，abb2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60.1求向量a，b夹角的流程图2若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角ab0且ab|a|b|.提醒：求两向量的夹角时，要注意0，跟进训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1
9、e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，180，120.1本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算(2)向量的模的计算(3)向量的夹角及垂直问题3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有
10、|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线1下面给出的关系式中不正确的是()A0a0Ba2|a|2Cab|a|b|D(ab)2a2b2D(ab)2a2b2cos2.2已知非零向量a，
11、b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A B C DB设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos ，0，.故选B3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在b方向上的投影向量为_bcos ，向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos )b.4已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2.又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.
