1、12.1复数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)2利用复数的代数形式，进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)3实部、虚部的概念(易混点)通过对复数的学习，培养数学抽象素养.数的概念是从实践中产生和发展起来的，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾但是，数集扩到实数集R以后，像x21这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫作虚数单位并由此
2、产生了复数1复数的相关概念(1)虚数单位我们引入一个新数i，叫作虚数单位，并规定：i21；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立(2)复数、复数集形如abi(a，bR)的数叫作复数，全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C复数zabi(a，bR)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部2复数的分类与复数相等(1)复数的分类复数zabi(a，bR)，当且仅当b0时，z是实数a；当b0时，z叫作虚数；当a0且b0时，zbi叫作纯虚数(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等思考：复数集
3、、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？提示：1复数i2的虚部是()Ai B2C1D2Ci22i，因此虚部是1.2如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0A(xy)ix1，x1，y1.3若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_(填序号)当a1时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错4若xii2y2i，x，yR，则复数xyi_.2i由i21得xii21xi，即1xiy2i，根据两个复数相
4、等的充要条件得故xyi2i.复数的相关概念【例1】(1)复数z43i的实部和虚部分别是_和_(2)复数z(m23m2)(m2m2)i，当实数m为何值时，z为实数；z为虚数；z为纯虚数(3)当实数m为何值时，复数z(m22m)i为：实数；虚数；纯虚数(1)43由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和3.(2)解当m2m20，即m2或m1时，z为实数当m2m20，即m2且m1时，z为虚数当即m2时，z为纯虚数(3)解即m2，当m2时，复数z是实数当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数由解得m3，当m3时，复数z是纯虚数复数相关概念的辨析(1)举反例：判断一个命题
5、为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部跟进训练下列命题中是假命题的是_(填序号)自然数集是非负整数集；实数集与复数集的交集为实数集；实数集与虚数集的交集是0；纯虚数集与实数集的交集为空集复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，是假命题复数的分类及应用【例2】(1)复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是_(2)已知mR，复数z(m22m3)i，当
6、m为何值时，z为实数；z为虚数；z为纯虚数(1)a0且ab要使复数z为纯虚数，则a0，ab.(2)解要使z为实数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.要使z为纯虚数，需满足解得m0或m2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？解复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，所以a0.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.复数相等的充要条件探究问题1由32能否推出3i2i？两个
7、实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2若复数zabi0，则实数a，b满足什么条件？提示若复数zabi0，则实数a，b满足a0，且b0. 【例3】(1) 若复数z(m1)(m2 9)i0，则实数m的值等于_(2)已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实数根，求实数m的值思路点拨(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解(1)3z0，求实数m的取值范围解由题意可知，x2(12i)x(3mi) x2x3m(2x1)i0，故 解得所以实数m的取值范围为.复数相
8、等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数1本节课的重点是理解复数的概念、复数的分类及数集间的关系2本节课的易错点是对两个虚数进行大小比较，只有当两个复数是实数时，才能比较大小1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)2若复数z(m2)(m29)i(mR)是正实数，则实数m的值为()A2 B3C3D3B由题知解得m3.故选B3已知z1m23mmi，z24(5m4)i，其中mR，i为虚数单位，若z1z2，则m的值为_1由题意得m23mmi4(5m4)i，从而解得m1.4已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MN，求整数a，b.解依题意得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由得a3，b2，由得a3，b2.中，a，b无整数解不符合题意综上所述得a3，b2或a3，b2或a3，b2.
