1、3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第2课时 分段函数 第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点)1通过分段函数求值问题培养数学运算素养2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.情境导学探新知 NO.1设 x 为任意实数，y 是不超过 x 的最大整数，填写下表x6.355121.52y6(1)y 是关于 x 的函数吗？(2)当1x1 时，y 与 x 的关系如何表示？知识点 分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同
2、取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数分段函数是一个函数还是几个函数？提示 分段函数是一个函数，而不是几个函数分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数 f(x)x1，x1，x3，x1是分段函数()答案(1)(2)B 结合分段函数的定义可知是分段函数，中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选 B.2.下列给出的式子是分段函数的是()f(x)x21，1x5，2x，x1.f(x)x1，xR，x2，x2.f(x)2x3，1x5，x2，x1.f(x)x23，x
3、0，x1，x5.A B C D 合作探究释疑难 NO.2类型1 分段函数的求值问题 类型2 分段函数的图象及应用 类型3 分段函数的实际应用 类型 1 分段函数的求值问题【例 1】已知函数 f(x)x1，x2，x22x，2x2，2x1，x2.(1)求 f(5)，f(3)，ff52 的值；(2)若 f(a)3，求实数 a 的值解(1)由5(，2，3(2,2)，52(，2，知 f(5)514，f(3)(3)22(3)32 3.f52 52132，而2322，不合题意，舍去当2a2 时，a22a3，即 a22a30.(a1)(a3)0，解得 a1 或 a3.1(2,2)，3(2,2)，a1 符合题意
4、当 a2 时，2a13，即 a2 符合题意综上可得，当 f(a)3 时，a1 或 a2.1分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内跟进训练1函数 f(x)x3，x10，ffx5，x10，则 f(7)_.8 函数 f(x)x3，x10，ffx5，x10，f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8.类型 2 分段函数的图象
5、及应用【例 2】(对接教材 P68 例题)已知函数 f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x，得 x2 或 x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)x22，x2，x，2x1，x22，x1.(2)由图知，(x)的定义域为 R，(1)1，(x)的值域为(，1分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
6、的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏跟进训练2已知函数 f(x)1|x|x2(2x2)(1)用分段函数的形式表示 f(x)；(2)画出 f(x)的图象；(3)写出函数 f(x)的值域解(1)当 0 x2 时，f(x)1xx2 1，当2x0 时，f(x)1xx21x，f(x)1，0 x2，1x，2x0.(2)函数 f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)类型 3 分
7、段函数的实际应用【例 3】如图所示，已知底角为 45的等腰梯形 ABCD，底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BFx，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图象当直线 l 从 B 点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H.因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45，AB2 2 cm，所以 BGAGDHHC2 cm，又 BC7 cm，所以 AD
8、GH3 cm.(1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y12x2；(2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时，yxx2222x2；(3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时，yS 五边形 ABFEDS 梯形 ABCDSRtCEF12(73)212(7x)212(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y 12x2，x0，2，2x2，x2，5，12x7210，x5，7.图象如图所示分段函数的建模(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确
9、自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式跟进训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元；(2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5公里计算)如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解 设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20由题意得函数的解析式如下：y 2，0 x5，3，5x10，4，10 x15，5，15x20.函数图象如图所示：当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 A f(3)321.1已知函数 f
10、(x)x5，x4，x2，x4，则 f(3)的值是()A1 B2 C8 D9B f(x)|x1|x1，x1，1x，x1.故选 B.1 2 3 4 2函数 f(x)|x1|的图象是()A BC D1 2 3 4 3函数 yx，x0，x，x0 的值域是_答案 0，)1 2 3 4 4函数 yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_1 2 3 4 f(x)2x，0 x1，2，1x2，3，x2 当 0 x1 时，设 f(x)kx，又过点(1,2)，故 k2，f(x)2x；当 1x2 时，f(x)2；当 x2 时，f(x)3.综上 f(x)2x，0 x1，2，1x2，3，x2.回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何求分段函数的定义域和值域？提示 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集2画分段函数的图象应注意哪些问题？提示 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象3分段函数求值的关键是什么？提示 分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
