1、10.2二倍角的三角函数学 习 目 标核 心 素 养1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形运用(难点)1.通过对二倍角公式的推导,培养学生逻辑推理素养.2. 通过利用二倍角公式求值、化简和证明,培养学生数学运算素养.若sin ,求sin 2,cos 2的值思考上述题目,并回答下列问题1你还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?2你写的这三个公式中角、会有特殊关系吗?此时公式变成什么形式?3在得到的C2公式中,还有其他表示形式吗?4细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?倍角公式(1)sin 22s
2、in cos ;(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2;(3)tan 2.思考1:T2对任意角都成立吗?提示:不是所含各角要使正切函数有意义思考2:倍角公式中的“倍角”只能是2吗?提示:倍角公式中的“倍角”具有相对性,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6是3的2倍,3是的2倍这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的1若sin ,则cos 2_.cos 212sin2,sin ,cos 212.2若tan 3,则tan 2_.tan 3,tan 2.3若sin 2sin ,且sin 0,则cos _.sin 22sin cos ,2sin cos sin ,
3、又sin 0,cos .直接应用二倍角公式求值【例1】已知sin 2,求sin 4,cos 4,tan 4的值思路点拨先由的范围求2的范围,并求出cos 2的值,进而求出sin 4,cos 4及tan 4的值解由,得2.又因为sin 2,所以cos 2.于是sin 42sin 2cos 22;cos 412sin2212;tan 4.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:8是4的二倍角;6是3的二倍角;4是2的二倍角;3是的二倍角;是的二倍角;是的二倍角;,又如2,2,.跟进训练1求下列各式的值(1)sinsin;(2)cos215cos275;(3)2
4、cos21;(4).解(1)sinsincos,sinsinsincos2sincossin;(2)cos275cos2(9015)sin215,cos215cos275cos215sin215cos 30;(3)2cos21cos;(4)tan 60.逆用二倍角公式化简求值【例2】化简:.思路点拨 化简,约分 解原式1.1三角函数的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异2解决此类非特殊角的求值问题,其关键是利用公式转化为特殊角求值,要充分观察角与角之间的联系,看角是否有倍数关系,能否用二倍角公式求值,是否是互余关系,能否进行正弦与余弦的互化;要充分根据已知式的
5、结构形式,选择公式进行变形并求值跟进训练2求下列各式的值:(1)2sincos;(2)12sin2750;(3);(4)coscos.解(1)原式sinsin;(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(604360)cos 60;(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60;(4)原式coscoscossinsin.活用“倍角”关系巧解题探究问题1已知cos的值,如何求sin 2x的值?提示可利用sin 2xcos2cos21求解2当题设条件中含有“x”及“2x”这样的角时,如何快速解题?提示可借助角的互余关系及诱导公式,实现倍角关系的转换【例3】已知
6、sin,0x,求的值思路点拨先由sin求cos,再求sin即可解,sincos,又0x,x,sin.2sin.1(变结论)本例条件不变,求cos 2x.解0x,0x,由sin,得cos,cos 2xsinsin 22sincos2.2(变结论)本例条件不变,求的值解,cossin.2sin xcos xsin 2x,又sin 2xcos12cos212.当遇到x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式,将条件与结论沟通cos 2xsin2sincos.类似这样的变换还有:(1)cos 2xsin2sincos;(2)sin 2xcos2cos21;(3)sin 2xcos12cos2等提醒:在使
7、用二倍角公式时要特别注意公式中的系数,防止出错1本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式,难点是公式的应用2要掌握二倍角公式的三个应用(1)解决化简求值问题;(2)解决条件求值问题;(3)倍角公式的综合应用3应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角,而倍角为特殊角时,常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值(2)当式子中涉及的角较多,要先变角,化异角为同角(3)对根式形式的化简,以去根号为目的,化简时注意角的范围1若tan 2,则2cos2sin 2()ABCDDtan 2,2cos2sin 2.故选D2cos2sin2_.原式coscos .3._.原式tan 15tan(6045).4求值:_.sin 50(1tan 10)sin 50sin 501,cos 80sin 10sin210,.5在平面直角坐标系xOy中,点P在角的终边上,点Q(sin2,1)在角的终边上,且.(1)求cos 2的值;(2)求sin()的值解(1)因为,所以sin2cos2,即(1cos2)cos2,所以cos2,所以cos 22cos21.(2)因为cos2,所以sin2,所以点P,点Q,又点P在角的终边上,所以sin ,cos .同理sin ,cos ,所以sin()sin cos cos sin .