1、10.2二倍角的三角函数学 习 目 标核 心 素 养1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)1.通过对二倍角公式的推导，培养学生逻辑推理素养.2. 通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.若sin ，求sin 2，cos 2的值思考上述题目，并回答下列问题1你还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？2你写的这三个公式中角、会有特殊关系吗？此时公式变成什么形式？3在得到的C2公式中，还有其他表示形式吗？4细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？倍角公式(1)sin 22s
2、in cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.思考1：T2对任意角都成立吗？提示：不是所含各角要使正切函数有意义思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2吗？提示：倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6是3的2倍，3是的2倍这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的1若sin ，则cos 2_.cos 212sin2，sin ，cos 212.2若tan 3，则tan 2_.tan 3，tan 2.3若sin 2sin ，且sin 0，则cos _.sin 22sin cos ，2sin cos sin ，
3、又sin 0，cos .直接应用二倍角公式求值【例1】已知sin 2，求sin 4，cos 4，tan 4的值思路点拨先由的范围求2的范围，并求出cos 2的值，进而求出sin 4，cos 4及tan 4的值解由，得2.又因为sin 2，所以cos 2.于是sin 42sin 2cos 22；cos 412sin2212；tan 4.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍角；6是3的二倍角；4是2的二倍角；3是的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；，又如2，2，.跟进训练1求下列各式的值(1)sinsin；(2)cos215cos275；(3)2
4、cos21；(4).解(1)sinsincos，sinsinsincos2sincossin；(2)cos275cos2(9015)sin215，cos215cos275cos215sin215cos 30；(3)2cos21cos；(4)tan 60.逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：.思路点拨 化简，约分 解原式1.1三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异2解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的
5、结构形式，选择公式进行变形并求值跟进训练2求下列各式的值：(1)2sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)coscos.解(1)原式sinsin；(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(604360)cos 60；(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60；(4)原式coscoscossinsin.活用“倍角”关系巧解题探究问题1已知cos的值，如何求sin 2x的值？提示可利用sin 2xcos2cos21求解2当题设条件中含有“x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？提示可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换【例3】已知
6、sin，0x，求的值思路点拨先由sin求cos，再求sin即可解，sincos，又0x，x，sin.2sin.1(变结论)本例条件不变，求cos 2x.解0x，0x，由sin，得cos，cos 2xsinsin 22sincos2.2(变结论)本例条件不变，求的值解，cossin.2sin xcos xsin 2x，又sin 2xcos12cos212.当遇到x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通cos 2xsin2sincos.类似这样的变换还有：(1)cos 2xsin2sincos；(2)sin 2xcos2cos21；(3)sin 2xcos12cos2等提醒：在使
7、用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错1本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用2要掌握二倍角公式的三个应用(1)解决化简求值问题；(2)解决条件求值问题；(3)倍角公式的综合应用3应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围1若tan 2，则2cos2sin 2()ABCDDtan 2，2cos2sin 2.故选D2cos2sin2_.原式coscos .3._.原式tan 15tan(6045).4求值：_.sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80sin 10sin210，.5在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，点Q(sin2，1)在角的终边上，且.(1)求cos 2的值；(2)求sin()的值解(1)因为，所以sin2cos2，即(1cos2)cos2，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为cos2，所以sin2，所以点P，点Q，又点P在角的终边上，所以sin ，cos .同理sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .