1、四川省绵阳南山中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文（含解析）第一卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，根据交集定义，即可求得答案.【详解】, 故选：B【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知复数（，是虚数单位）为纯虚数，则实数的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，因为是纯虚数，所以，故选A3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得，进而求得表达式的值.【详解】，所
2、以，.因为，所以.故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力.4.下列叙述中正确的是()A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D. 是一条直线，是两个不同的平面，若，则【答案】D【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系5.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】
3、本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.若同一平面内向量两两所成的角相等，且，则等于( )A. 2B. 5C. 2或5D. 或【答案】C【解析】【详解】因为同一平面内向量两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，即；当三个向量所成的角都是0时，.故或5.选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7.德国数学家莱布尼兹(1646年-17
4、16年)于1674年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有割圆密率捷法一书,为我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值(其中P表示的近似值),若输入,则输出的结果是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】
5、由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近0，-2的右侧-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x-2且在-2的左侧附近时，排除AC，故选D9.在区间0,2中随机取两个数
6、，则两个数中较大的数大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于，其对立事件是两个数都小于等于，求出概率即可.【详解】在区间0,2中随机取两个数，两个数构成有序数对，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件，且在区间0,2中随机取两个数，这两个数都小于或等于，所构成的平面区域的面积为，故两个数中较大数大于的概率.故选：A【点睛】此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解.10.已知直三棱柱，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（ ）
7、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，得到，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图所示，不等式所表示的平面区域内一点，可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域，再根据三角形的面积为，即可求得点轨迹的一个焦点坐标.【详解】如图所示，则，.
8、不等式所表示的平面区域内一点，可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域 三角形的面积为，即点轨迹方程为.焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题12.函数，若对恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.【详解】解：，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，则当时，当时，在上有最大值，又，令，要使对恒成立，则对恒成立，即
9、对恒成立，分离，得，函数的对称轴为，又，则.则实数的范围是.故选A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某时段内共有辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过的汽车辆数为 【答案】77【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数【详解】根据频率分布直方图，得时速超过的汽车的频率为；所以时速超过的汽车辆数为故答案为：77【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题
10、时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题14.函数的图象向右平移个长度单位后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由，向右平移个长度单位后，得到函数，再根据函数为偶函数求解.【详解】函数，向右平移个长度单位后，得到函数，因为函数为偶函数，所以，即，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.【答案】3【解析】不妨设，则，又，所
11、以，利用导数易知在上递减，在上递增，所以当时，的最小值为3，故答案为3.16.已知正三棱锥的侧面是直角三角形，的顶点都在球O的球面上，正三棱锥的体积为36，则球O的表面积为_【答案】108【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，正三棱锥的体积为36，V=R=球O的表面积为S=4R2=108故答案为108【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱
12、柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在直角梯形中，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示.（1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据，得到再根据勾股定理得到，然后根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明.（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，分别求得，再根据求解.【详解】（1）因为，所以，因为平面平面，平面平面平面平面;（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，因为，即，解得.【点睛】本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查
13、了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：x/吨234568911y/天12334568（1）根据上述提供的数据，求出关于的回归方程；（2）在该商品进货量不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据提供的数据，分别求得，然后写出回归直线方程；（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不
14、超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解.【详解】（1）由题意得：，所以回归直线方程为；（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，任取2个有有10个结果，恰好有1次不超过3吨的有：共6种所以所求的概率为【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知正项数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设是的前n项和，求使成立的最大正整数n.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）当时，根据，得到，两式相减得，再利用等差数列的定义求解.（2）根据（1）得到，用裂项相消法求，然后再代入求解.【详解】（1）当时，由，得，两式相减
15、得，当时，且所以数列是等差数列，；（2），解得，所以最大的正整数为5.【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点.（1）若以线段为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）存在， .【解析】【分析】（1）设的中点为M，连接，根据中位线得到求解.（2）直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，与椭圆方程联立整理得到，设，若为定值，则需成立求解.【详解】（1）设的中
16、点为M，连接，在中，所以，所以，故椭圆的长轴长为6；（2）因为椭圆方程为，当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，则，设，,当时，即，为定值，定值为，当直线AB的斜率不存在时，当时，综上，在x轴上存在定点，使得为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数，.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）记函数图象为曲线，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N，试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.【答案】（1）；（2）不平行，理由见解析.【解析】【分析】（1
17、）求导，分，四种情况讨论求解.（2）设，则点N的横坐标为，表示直线AB的斜率，再表示曲线在点N处的切线的斜率，然后假设曲线在点N处的切线平行于直线AB，则，论证是否成立即可.【详解】（1），当时，由得，当时，在单调递减，所以在上最小值为，当时，上单调递减，在上单调递增，所以在上最小值为，当时，在上单调递增，所以在上最小值为，综上，函数在上最小值为；（2）设，则点N的横坐标为直线AB的斜率为曲线在点N处的切线的斜率为假设曲线在点N处的切线平行于直线AB，则即所以，设令所以在是增函数，又所以，即，所以不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切
18、线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.选修4-4参数方程极坐标22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（t为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求椭圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与轴分别交于两点，点是圆上任意一点，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）8.【解析】【分析】（1）根据参数方程，消去t即可.由，利用两角和的正弦公式展开得，再利用求解. （2）直线与两坐标轴的交点分别是，根据参数方程，设点P的坐标为，可得点到直线的距离为，利用三角函数的性质求得最值，再由求解.【详解】（1）由参数方程，消去t
19、得，所以圆的普通方程为.由，得，所以直线的直角坐标方程为：.（2）直线与两坐标轴的交点分别是，设点P坐标为，点到直线的距离为，当，时点到直线的距离最大，所以，所以的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围解析：（1）因为，所以，或或解得或或， 所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立， 而 ，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.
