1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一个固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点思考：由上式可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列的通项公式可以变形为annd(a1d)，是关于n
2、的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d，当两点为(n，an)，(m，am)时有d.2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2
3、d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列思考：若an为等差数列，且mnp(m，n，pN*)，则amanap一定成立吗？提示不一定如常数列an，123，而a1a22a3.1在等差数列an中，a3a510，则a1a7等于()A5 B8 C10 D14Ca1a7a3a510.2等差数列an中，a100120，a90100，则公差d等于()A2 B20 C100 D不确定Aa100a9010d，10d20，即d2.3在等差数列an中，若
4、a56，a815，则a14_33由题意得d3.a14a86d151833.4已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12_15由等差数列的性质得a7a9a4a1216，又a41，a1215.灵活的设元解等差数列【例1】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数解法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a3d，ad，ad
5、，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.1已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有整理得解得a1，d.当d时，这5个数分别
6、是，1，；当d时，这5个数分别是，1，.综上，这5个数分别是，1，或，1，.等差数列的实际应用【例2】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个甲乙请你根据提供的信息回答问题(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列解由题图可知，从第1年到第6年
7、平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得得a21.2；由b130，b610，得得b226.c2a2b21.22631.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只(2)c6a6b621020c1a1b130，到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在
8、利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元23.2根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)等差数列的性质探究问题1在等差数列an中，若an3n1，那么a1a5
9、a2a4吗？a2a5a3a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？提示由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a3a4均成立，由此有若m，n，p，qN*且mnpq，则amanapaq.对于任意等差数列an，设其公差为d.则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因为mnpq，故amanapaq对任意等差数列都适用2在等差数列an中，如果mn2r，那么aman2ar是否成立？反过来呢？提示若mn2r(m，n，rN*)，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)d2
10、a1(r1)d2ar，显然成立；在等差数列an中，若aman2ar，不一定有mn2r，如常数列3已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？提示(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.【例3】已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.思路探究：选用哪条性质求解
11、更为简便？a15，a30，a45，a60，a75成等差数列吗？解法一：(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60a153d，得d4，所以a75a60d24.法二：(利用首项与公差)设等差数列an的首项为a1，公差为d.a60a1545d，所以20845d，所以d，a75a1560d86024.1(变条件，变结论)本例中条件变为“在等差数列an中，若a58，a1020”，求a15.解法一：因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5a152a10.所以a152a10a5220832.法
12、二：因为an为等差数列，设其公差为d，所以a10a55d，所以2085d，所以d.所以a15a105d20532.2本例中的条件变为“an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321”求a5b5的值解(1)法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a
13、1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaq2ar.易错警示：对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项1在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量1判断正误(1)若an是等差数列，则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差
14、数列()(3)若an是等差数列，则对任意nN*都有2an1anan2.()(4)数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误，如2，1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列(2)错误，如数列1，2，3，4，5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意nN*都有2an1anan2成立(4)正确因为an3n5的公差d3，而直线y3x5的斜率也是3.2在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20 B30 C40 D50Ca3a11a5a
15、92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.3已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，则k_18a4a7a103a717，a7.又a4a5a13a1411a977，a97.故d.aka9(k9)d13，137(k9)，k18.4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解法一：设这三个数为a，b，c(abc)，则由题意得解得法二：设这三个数为ad，a，ad，由已知得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2，这三个数为4，6，8.- 11 - 版权所有高考资源网
